Skip to main content

Теория: Дополнение до полного квадрата разности - 1

Задание

Считая параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительными, дополните выражение удвоенным произведением  так, чтобы получился полный квадрат разности положительных чисел, и запишите его:
 

\(\displaystyle 25x^{\, 2}-\)\(\displaystyle +\,49y^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle 25x^{\,2}-\,\color{red}{?}+49y^{\,2}\)

является полным квадратом разности, и необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle 25x^{\,2}-\,\color{red}{?}+49y^{\,2}=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle 25x^{\,2}-\,\color{red}{?}+49y^{\,2}=a^{\,2}-\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Сначала заметим, что \(\displaystyle 25x^{\,2}=5^2x^{\,2}=(5x\,)^2\) и \(\displaystyle 49y^{\,2}=7^2y^{\,2}=(7y\,)^2.\) Поэтому нам известны квадраты

\(\displaystyle a^{\,2}=25x^{\,2}\) или \(\displaystyle a^{\,2}=(5x\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\,2}=49y^{\,2}\) или \(\displaystyle b^{\,2}=(7y\,)^2,\)

но неизвестно удвоенное произведение

\(\displaystyle 2ab=\,\color{red}{?}\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{5x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-5x},\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{7y}\) или \(\displaystyle \color{green}{-7y}.\)

Поскольку параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительны и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком \(\displaystyle "+"{\small:}\)

\(\displaystyle a=\color{blue}{5x},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{7y}.\)

Тогда

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 5x\cdot 7y,\)

\(\displaystyle 2ab=70xy.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 25x^{\,2}-\,\color{red}{?}+49y^{\,2}=25x^{\,2}-\color{red}{70xy}+49y^{\,2}\)

и

\(\displaystyle 25x^{\,2}-{\bf 70xy}+49y^{\,2}=({\bf 5x-7y}\,)^2.\)


Ответ: \(\displaystyle 25x^{\,2}-{\bf 70xy}+49y^{\,2}=({\bf 5x-7y}\,)^2.\)