Skip to main content

Теория: Произведение и частное в натуральной степени

Задание

Запишите формулу частного в степени:

\(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\,\right)^{11}=\)
Решение

Правило

Частное в степени

Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b=\not 0\)и натурального числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle \frac{a^{\,n}}{b^{\,n}}=\left(\frac{a}{b}\,\right)^n.\)

Применим правило для нашего случая:

\(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\,\right)^{11}=\frac{a^{\,11}}{b^{\,11}}.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{a^{\,11}}{b^{\,11}}.\)

 

Замечание / комментарий

Распишем  \(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{11}\) по определению степени:

\(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{11}=\underbrace{\frac{a}{b} \cdot\ldots\cdot \frac{a}{b}}_{11 \, раз}.\)

Перемножив дроби, получаем:

\(\displaystyle \underbrace{\frac{a}{b}\cdot\ldots\cdot\frac{a}{b}}_{11 \, раз}=\frac{\overbrace{a\cdot\ldots\cdot a}^{11 \, раз}} {\underbrace{b\cdot\ldots\cdot b}_{11 \, раз}}=\frac{a^{\,11}}{b^{\,11}}.\)

Поэтому,

\(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\,\right)^{11}=\frac{a^{\,11}}{b^{\,11}}.\)