Skip to main content

Теория: Степень в степени

Задание

1. Свойство произведения степеней:

Правило

Степень в степени

Для любого числа a и любых натуральных чисел n,\,m выполняется

{\bf \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}}.

2. Равенство единице:

Правило

{\bf a^{\,x}=1} для любого положительного числа a, не равного единице, в том и только в том случае, когда {\bf x=0}.

3. Равенство степеней:

Правило

{\bf a^{\,x}=a^{\,y}} для любого положительного числа a, не равного единице, в том и только в том случае, когда {\bf x=y}.

Решение

1. Свойство произведения степеней.

Правило

Степень в степени

Для любого числа a и любых натуральных чисел n,\,m выполняется

\left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.

Доказательство.

Для того чтобы доказать данное правило (формулу), воспользуемся определением степени числа:

\left(a^{\,n}\right)^{m}=\underbrace{a^{\,n}\ldots a^{\,n}}_{m\, раз}=a^{\,\underbrace{n+\ldots+n}_{m\, раз}}=a^{nm}.

 

2. Равенство единице.

Правило

 {\bf a^{\,x}=1} для каждого ненулевого и не равного единице числа a в том и только в том случае, когда {\bf x=0}.

Доказательство.

В начале заметим, что любое ненулевое число a^{\,0}=1 (по определению). Мы хотим убедиться, что других возможностей нет.

Так как это верно для любого числа a, то это будет верно, например, и для a=2.  Заметим, что

2^{\, {\bf 0}}=1,\,\, 2^{\, {\bf 1}}=2,\,\, 2^{\, {\bf 2}}=4,\,\, 2^{\, {\bf 3}}=8,\,\, 2^{\, {\bf 4}}=16,\ldots

Из данного ряда следует, что только 2^{\,0}=1, поэтому единственная возможность x=0.

 

3. Равенство степеней.

Правило

{\bf a^{\,x}=a^{\,y}} для любого ненулевого и не равного единице числа  a в том и только в том случае, когда  {\bf x=y}.

Доказательство.

Разделим обе части равенства  a^{\,x}=a^{\,y} на ненулевое выражение a^{\, y}:

\displaystyle\frac{a^{\,x}}{a^{\,y}}=1,

a^{\,x-y}=1.

Используя п.2 "Равенство единице", получаем:

x-y=0.

Таким образом, x=y.