Найдите показатель степени для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b:\)
| \(\displaystyle \left(a^{\,5}b^{\,8}\right)^{\,7} =a\) | \(\displaystyle \cdot \, b\) |
Воспользуемся правилом "произведение в степени".
Степень произведения
Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b\) и любого натурального числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle (ab)^{\,n}=a^{\,n}b^{\,n}.\)
\(\displaystyle \left(a^{\,\color{blue}{5}}b^{\,\color{green}{8}}\right)^{\,\color{red}{7}}=\left(a^{\,\color{blue}{5}}\right)^{\,\color{red}{7}}\left(b^{\,\color{green}{8}}\right)^{\,\color{red}{7}}.\)
Далее к каждому множителю применим правило возведения степень в степень.
Степень в степени
Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется
\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.\)
Тогда получаем:
\(\displaystyle \left(a^{\,\color{blue}{5}}\right)^{\,\color{red}{7}}\left(b^{\,\color{green}{8}}\right)^{\,\color{red}{7}}=a^{\, \color{blue}{5}\cdot \color{red}{7}}\cdot b^{\, \color{green}{8}\cdot \color{red}{7}}=a^{\,\bf 35}b^{\,\bf 56}.\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\,35}b^{\,56}.\)