Skip to main content

Теория: Свойства умножения и деления степеней (числа в целых степенях)

Задание

Найдите показатель степени:
 

\(\displaystyle \frac{1}{{0,8}^{-9}} : \frac{1}{{0,8}^{-17}}=0,8\)

 

Решение

Преобразуем дроби \(\displaystyle \frac{1}{{0,8}^{-9}}\) и \(\displaystyle \frac{1}{{0,8}^{-17}}\) по определению отрицательной степени.

Определение

Отрицательная степень числа

Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и целого числа \(\displaystyle n\) полагаем:

\(\displaystyle \frac{1}{a^{\: n}}=a^{\,-n}.\)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{1}{0,8^{-9}}=0,8^{-(-9)}=0,8^{\bf \,9}.\)
и
\(\displaystyle \frac{1}{0,8^{\, -17}}=0,8^{\, -(-17)}=0,8^{\bf \,17}.\)

Тогда наше частное примет вид:

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{{0,8}^{-9}}} :\color{green}{\frac{1}{{0,8}^{-17}}}=\color{blue}{0,8^{9}}:\color{green}{0,8^{17}}.\)

Далее применим правило частного степеней.

Правило

Частное степеней

Пусть \(\displaystyle a\) –  ненулевое число, \(\displaystyle n,\, m\) –  целые числа. Тогда

\(\displaystyle {\bf \frac{a^{\,n}}{a^{\,m}}}= a^{\,n}:a^{\,m}=a^{\,n\,-\,m}.\)

Менее формально, при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.

\(\displaystyle 0,8^{9} : 0,8^{17}=0,8^{\, 9-17}=0,8^{\, -8}.\)

Ответ: \(\displaystyle 0,8^{\,-8}.\)