Skip to main content

Теория: Понятие отрицательного показателя степени (параметры)

Задание

Для любого ненулевого числа a найдите показатель степени выражения:

a
=\displaystyle\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=
1
a
Решение

Информация

"Мотивация определения отрицательной степени"

Так как мы умеем вычитать лишь из большей степени меньшую, то, разделив и числитель, и знаменатель дроби на величину, равную числителю, получаем:

\displaystyle\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\displaystyle\frac{a^{\,9}:a^{\,9}}{a^{\,11}:a^{\,9}}=\displaystyle\frac{1}{a^{\,11}:a^{\,9}}=\displaystyle\frac{1}{a^{\, 11\,-\,9}}=\displaystyle\frac{1}{a^{\,2}}.

 

Если же предположить, что свойство вычитания степеней является верным и при вычитании из меньшей степени большей, то мы могли бы записать:

\displaystyle\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=a^{\,9\:-\:11}=a^{\,-2}.

В этом случае с одной стороны

\displaystyle\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\displaystyle\frac{1}{a^{\,2}},

а с другой стороны

\displaystyle\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=a^{\,-2},

и тогда выполнялось бы равенство:

a^{\,-2}=\displaystyle\frac{1}{a^{\,2}}.

На основе вышеизложенного введем определение для отрицательной степени числа.

Определение

Отрицательная целая степень числа

Для любого ненулевого числа a и целого числа n полагаем:

a^{\,-n}=\displaystyle\frac{1}{a^{\: n}}.

Так как определение отрицательной степени мы ввели так, чтобы свойство вычитания степеней выполнялось для любых натуральных чисел, то

a^{\,9\,-\,11}=\displaystyle\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\displaystyle\frac{1}{a^{\,11\,-\,9}},

и, следовательно,

a^{\,-2}=\displaystyle\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\displaystyle\frac{1}{a^{\,2}}.

Ответ: a^{\,-2}=\displaystyle\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\displaystyle\frac{1}{a^{\,2}}.