Для любого ненулевого числа \(\displaystyle z\) найдите показатель степени:
| \(\displaystyle \frac{\phantom{111}1\phantom{111}}{\dfrac{1}{z^{\,-8}}}= z\) |
В решении данного задания дважды используем определение отрицательной степени.
Отрицательная степень числа
Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и целого числа \(\displaystyle n\) полагаем:
\(\displaystyle \frac{1}{a^{\: n}}=a^{\,-n}{\small.}\)
В данном выражении знаменатель дроби стоит в скобках (которые для удобства опускаются), то есть
\(\displaystyle \frac{\phantom{1z3}1\phantom{1z3}}{\dfrac{1}{z^{\,-8}}}=\frac{\phantom{1z3}1\phantom{1z3}}{ \left(\color{blue}{ \dfrac{1}{z^{\,-8}}}\right)}{\small.}\)
Используя определение, преобразуем знаменатель данной дроби:
\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{z^{\,-8}}}=z^{\color{green}{\,-(-8)}}=\color{green}{z^{\,8}}{\small.}\)
Поэтому
\(\displaystyle \frac{\phantom{1z3}1\phantom{1z3}}{ \color{blue}{\dfrac{1}{z^{\,-8}}}}=\frac{1}{\color{green}{z^{\,8}}}{\small.}\)
Рассмотрим дробь \(\displaystyle \frac{1}{\color{green}{z^{\,8}}}{\small.}\)
Вновь используя определение отрицательной степени, получаем:
\(\displaystyle \frac{1}{\color{green}{z^{\,8}}}=\color{red}{z^{\,-8}}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{\phantom{1z3}1\phantom{1z3}}{\color{blue}{\dfrac{1}{z^{\,-8}}}}=\frac{1}{\color{green}{z^{\,8}}}=\color{red}{z^{\,-8}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle z^{\,-8}{\small.}\)