Skip to main content

Теория: Деление многочлена на многочлен в столбик (* доп. раздел)

Задание

Разделите многочлен x^{\,2}+3x+2 на многочлен x+1 в столбик:
 

- \phantom{\,\,} x^{\,2}+3x+2 x+1
x^2+x
x+2
  \phantom{ x^{\,2}+} -
2x+2
2x+2
    0\phantom{ x}


и запишите разложение:

x^{\,2}+3x+2=(x+1)\cdot \big(
x+2
\big){\small . }
Решение

Разделим многочлен x^{\,2}+3x+2 на многочлен x+1 в столбик.

Одночлен старшей степени у делителя x+1 – это одночлен \color{red}{x}{\small .}

Шаг 1. Деление многочлена {\small \color{blue}{x^{\,2}+3x+2}}

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \color{blue}{x^{\,2}}+3x+2{\small ,} это одночлен \color{blue}{x^{\,2}}{\small .}

2. Делим одночлен \color{blue}{x^{\,2}} на одночлен \color{red}{x}\,{\small :}

\displaystyle\frac{ \color{blue}{x^{\,2}} }{\color{red}{x}}=\color{blue}{x}{\small .}

Записываем результат деления как первое слагаемое частного:

\small \color{blue}{x^{\,2}}+3x+2 \small x+1
 
\small \color{blue}{x}\,?

3. Вычитаем в столбик из многочлена \color{blue}{x^{\,2}}+3x+2 многочлен \color{blue}{x}\cdot (x+1)=x^{\,2}+x \,{\small :}

- \small \color{blue}{x^{\,2}}+3x+2 \small x+1
\small x^{\,2}+x
\small \color{blue}{x}\,?
  \small 2x+2

Получаем многочлен 2x+2{\small . }

Шаг 2. Деление многочлена {\small \color{green}{2x+2}}

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \color{green}{2x}+2{\small ,} это \color{green}{2x}{\small .}

2. Делим одночлен \color{green}{2x} на одночлен \color{red}{x}\,{\small :}

\displaystyle\frac{\color{green}{2x}}{\color{red}{x}}=\color{green}{2}{\small .}

Записываем результат как второе слагаемое частного со знаком "+":

- \small x^{\,2}+3x+2 \small x+1
\small x^{\,2}+x
\small x\color{green}{+2}
  \small \color{green}{ 2x}+2

3. Вычитаем в столбик из многочлена \color{green}{2x}+2 многочлен \color{green}{2}\cdot(x+1)=2x+2 {\small :}

- \small x^{\,2}+3x+2 \small x+1
\small x^{\,2}+x
\small x\color{green}{+2}
  \phantom{1} - \small \color{green}{ 2x}+2
  \small 2x+2
  \small 0

В итоге получаем 0{\small ,} процесс деления закончен.

Таким образом,

- \color{blue}{ x^{\,2}+3x+2} x+1
x^{\,2}+x
x+2
  \phantom{1\,} - \color{green}{ 2x+2}
  2x+2
  0\,

и

x^{\,2}+3x+2=(x+1)\cdot ({\bf x+2}){\small .}