Skip to main content

Теория: Деление многочлена на многочлен в столбик (* доп. раздел)

Задание

Разделите многочлен \(\displaystyle x^{\,3}-1\) на многочлен \(\displaystyle x-1\) в столбик:
 

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \phantom{\,\,}x^{\,3}-1\) \(\displaystyle x-1\)
x^3-x^2
x^2+x+1
  \(\displaystyle -\)
x^2-1
 
x^2-x
    \(\displaystyle \phantom{ xx} -\)
x-1
   
x-1
      \(\displaystyle 0\)


и запишите разложение:

\(\displaystyle x^{\,3}-1=(x-1)\cdot \big(\)
x^2+x+1
\(\displaystyle \big).\)
Решение

Разделим многочлен \(\displaystyle x^{\,3}-1\) на многочлен \(\displaystyle x-1\) в столбик.

Одночлен старшей степени у делителя \(\displaystyle x-1\) – это одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}{\small .}\)

Шаг 1. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{blue}{ x^{\,3}-1}}\)

Шаг 2. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{green}{ x^{\,2}-1}}\)

Шаг 3. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{orange}{x-1}}\)

Таким образом,

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \color{blue}{ x^{\,3}-1}\) \(\displaystyle x-1\)
\(\displaystyle x^{\,3}-x^{\,2}\)
\(\displaystyle x^{\,2}+x+1\)
  \(\displaystyle \phantom{\,\,}-\) \(\displaystyle \color{green}{ x^{\,2}-1}\)
  \(\displaystyle x^{\,2}-x\)
    \(\displaystyle \phantom{\small xx\,} -\) \(\displaystyle \color{orange}{x-1}\)
  \(\displaystyle x-1\)
    \(\displaystyle 0\,\)

и

\(\displaystyle x^{\,3}-1=(x-1)\cdot ({\bf x^{\,2}+x+1}){\small .}\)