Skip to main content

Теория: Деление многочлена на многочлен в столбик (* доп. раздел)

Задание

Разделите многочлен \(\displaystyle x^{\,4}+x^{\,3}+2x^{\,2}-x+3\) на многочлен \(\displaystyle x^{\,2}+2x+3\) в столбик:
 

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \phantom{\,\,}x^{\,4}+x^{\,3}+2x^{\,2}-x+3\) \(\displaystyle x^{\,2}+2x+3\)
x^4+2x^3+3x^2
x^2-x+1
  \(\displaystyle \phantom{ \,} -\)
-x^3-x^2-x+3
 
-x^3-2x^2-3x
    \(\displaystyle \phantom{ xx\,} -\)
x^2+2x+3
   
x^2+2x+3
      \(\displaystyle 0\)


и запишите разложение:

\(\displaystyle x^{\,4}+x^{\,3}+2x^{\,2}-x+3=(x^{\,2}+2x+3)\cdot \big(\)
x^2-x+1
\(\displaystyle \big).\)
Решение

Разделим многочлен \(\displaystyle x^{\,4}+x^{\,3}+2x^{\,2}-x+3\) на многочлен \(\displaystyle x^{\,2}+2x+3\) в столбик.

Одночлен старшей степени у делителя \(\displaystyle x^{\,2}+2x+3\) – это одночлен \(\displaystyle \color{red}{x^{\,2}}{\small.}\)

Шаг 1. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{blue}{ x^{\,4}+x^{\,3}+2x^{\,2}-x+3}}\)

Шаг 2. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{green}{ -x^{\,3}-x^{\,2}-x+3}}\)

Шаг 3. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{orange}{x^{\,2}+2x+3}}\)

Таким образом,

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \color{blue}{ x^{\,4}+\phantom{2\,}x^{\,3}+2x^{\,2}-x+3}\) \(\displaystyle x^{\,2}+2x+3\)
\(\displaystyle x^{\,4}+2x^{\,3}+3x^{\,2}\)
\(\displaystyle x^{\,2}-x+1\)
  \(\displaystyle \phantom{ x} -\) \(\displaystyle \color{green}{ -x^{\,3}-\phantom{3\,}x^{\,2}-x+3}\)
  \(\displaystyle -x^{\,3}-2x^{\,2}-3x\)
    \(\displaystyle \phantom{-x^{\,3}\,} -\) \(\displaystyle \color{orange}{x^{\,2}+2x+3}\)
  \(\displaystyle x^{\,2}+2x+3\)
  \(\displaystyle 0\,\)

и

\(\displaystyle x^{\,4}+x^{\,3}+2x^{\,2}-x+3=(x^{\,2}+2x+3)\cdot \big({\bf x^{\,2}-x+1}\big){\small.}\)