Найдите произведение:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
1. Раскроем внутренние скобки, умножив в них каждое слагаемое на \(\displaystyle 3xy^{\,2}\) и преобразовав каждый получившийся одночлен к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{3xy^{\,2}}\left(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,\right)=\color{blue}{3xy^{\,2}}\cdot 2xz^{\,2}-\color{blue}{3xy^{\,2}}\cdot yz^{\,3}+\color{blue}{3xy^{\,2}}\cdot 4xyz=\\[10px]\;\phantom{\color{blue}{3xy^{\,2}}}=\left(3\cdot 2\right)\cdot \left(x\cdot x\,\right)\cdot y^{\,2}z^{\,2}-3\cdot x\cdot \left(\,y^{\,2}\cdot y\,\right)\cdot z^{\,3}+\\[10px]\kern{14em} +\left(3\cdot 4\right)\cdot \left(x\cdot x\,\right)\cdot \left(\,y^{\,2}\cdot y\,\right)\cdot z=\\[10px]\,\,\;\phantom{\color{blue}{3xy^{\,2}}}=6\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,2}z^{\,2}-3\cdot x\cdot y^{\,2+1}\cdot z^{\,3}+12\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,2+1}\cdot z=\\[10px]\;\phantom{\color{blue}{3xy^{\,2}}\left(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,\right)}=6x^{\,2}y^{\,2}z^{\,2}-3xy^{\,3}z^{\,3}+12x^{\,2}y^{\,3}z{\small .}\end{array}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{array}{l}-5x^{\,2}yz^{\,2}\left(11xyz^{\,2}+3xy^{\,2}\left(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,\right)\right)=\\[10px]\kern{10em} =-5x^{\,2}yz^{\,2}\left(11xyz^{\,2}+6x^{\,2}y^{\,2}z^{\,2}-3xy^{\,3}z^{\,3}+12x^{\,2}y^{\,3}z\,\right){\small .}\end{array}\)
2. Еще раз раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в скобках на \(\displaystyle -5x^{\,2}yz^{\,2}{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{ -5x^{\,2}yz^{\,2}}\left(11xyz^{\,2}+6x^{\,2}y^{\,2}z^{\,2}-3xy^{\,3}z^{\,3}+12x^{\,2}y^{\,3}z\,\right)=\\[10px]\kern{3em} =\left(\color{blue}{-5x^{\,2}yz^{\,2}}\right)\cdot 11xyz^{\,2}+\left(\color{blue}{-5x^{\,2}yz^{\,2}}\right)\cdot 6x^{\,2}y^{\,2}z^{\,2}-\\[10px]\kern{6em} -\left(\color{blue}{-5x^{\,2}yz^{\,2}}\right)\cdot 3xy^{\,3}z^{\,3}+\left(\color{blue}{-5x^{\,2}yz^{\,2}}\right)\cdot 12x^{\,2}y^{\,3}z=\\[10px]=\left(\left(-5\right)\cdot 11\right)\cdot \left(x^{\,2}\cdot x\,\right)\cdot \left(y\cdot y\,\right)\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,2}\right)+\left(\left(-5\right)\cdot 6\right)\cdot \left(x^{\,2}\cdot x^{\,2}\right)\cdot \left(y\cdot y^{\,2}\right)\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,2}\right)-\\[10px] -\left(\left(-5\right)\cdot 3\right)\cdot \left(x^{\,2}\cdot x\,\right)\cdot \left(y\cdot y^{\,3}\right)\cdot \left(z^{\,2}\cdot z^{\,3}\right)+\left(\left(-5\right)\cdot 12\right)\cdot \left(x^{\,2}\cdot x^{\,2}\right)\cdot \left(y\cdot y^{\,3}\right)\cdot \left(z^{\,2}\cdot z\,\right)=\\[10px]\kern{3em} =-55\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2+2}-30\cdot x^{\,2+2}\cdot y^{\,1+2}\cdot z^{\,2+2}+\\[10px]\kern{10em} +15\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,1+3}\cdot z^{\,2+3}-60\cdot x^{\,2+2}\cdot y^{\,1+3}\cdot z^{\,2+1}=\\[10px]\kern{11em} =-55x^{\,3}y^{\,2}z^{\,4}-30x^{\,4}y^{\,3}z^{\,4}+15x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}-60x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}{\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \begin{array}{l}-5x^{\,2}yz^{\,2}\left(11xyz^{\,2}+3xy^{\,2}\left(2xz^{\,2}-yz^{\,3}+4xyz\,\right)\right)=\\[10px]\kern{10em} =-55x^{\,3}y^{\,2}z^{\,4}-30x^{\,4}y^{\,3}z^{\,4}+15x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}-60x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}{\small .}\end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle -55x^{\,3}y^{\,2}z^{\,4}-30x^{\,4}y^{\,3}z^{\,4}+15x^{\,3}y^{\,4}z^{\,5}-60x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}{\small .}\)