Раскройте скобки и вынесите общий множитель со знаком минус за скобки так, чтобы члены в скобках не имели общего множителя:
Сначала раскроем скобки, умножив на \(\displaystyle -36y^{\,8}z^{\,4}\) каждый член выражения \(\displaystyle x^{\,4}-2y^{\,7}z^{\,5}\):
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{red}{-36y^{\,8}z^{\,4}} \cdot (x^{\,4}-2y^{\,7}z^{\,5})-60xy^{\,10}z^{\,10}= \\[10px]\kern{6em} =\color{red}{(-36y^{\,8}z^{\,4})}\cdot x^{\,4}-\color{red}{(-36y^{\,8}z^{\,4})}\cdot 2y^{\,7}z^{\,5}-60xy^{\,10}z^{\,10}= \\[10px]\kern{12em} =-36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10} {\small .}\end{array}\)
Теперь найдем общий множитель, который нужно вынести за скобки.
Выражение \(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10}\) состоит из трех одночленов:
\(\displaystyle -\color{blue}{36}\color{green}{x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}},\) \(\displaystyle \color{blue}{72}\color{green}{y^{\,15}z^{\,9}}\) и \(\displaystyle -\color{blue}{60}\color{green}{xy^{\,10}z^{\,10}}{\small .}\)
Для этих выражений нам необходимо найти такой общий множитель, чтобы при его вынесении за скобки оставшиеся в скобках одночлены не имели общих множителей.
Вычислим наибольший общий делитель одночленов \(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}, \, 72y^{\,15}z^{\,9}\) и \(\displaystyle -60xy^{\,10}z^{\,10}\)
как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов и общих переменных
в наименьшей степени.
1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов:
- \(\displaystyle 36=2^2\cdot 3^2\)
- \(\displaystyle 72=2^3\cdot 3^2\)
- \(\displaystyle 60=2^2\cdot 3\cdot 5\)
Из разложения на простые множители следует, что наибольший общий делитель равен \(\displaystyle 2^2\cdot 3=12{\small .}\)
2. Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}, \, y^{\,15}z^{\,9}\) и \(\displaystyle xy^{\,10}z^{\,10}\) с наименьшим показателем степени, – это \(\displaystyle y^{\,8}\) и \(\displaystyle z^{\,4} {\small .}\)
Значит, в выражении \(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10}\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 12y^{\,8}z^{\,4}{\small .}\)
Вынесем этот множитель со знаком минус, как того требует условие задачи:
\(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10}=\)
\(\displaystyle =-12y^{\,8}z^{\,4}\left(-\frac{36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}}{-12y^{\,8}z^{\,4}}+\frac{72y^{\,15}z^{\,9}}{-12y^{\,8}z^{\,4}}-\frac{60xy^{\,10}z^{\,10}}{-12y^{\,8}z^{\,4}}\right) {\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle -36x^{\,4}y^{\,8}z^{\,4}+72y^{\,15}z^{\,9}-60xy^{\,10}z^{\,10}=-12y^{\,8}z^{\,4}\left(3x^{\,4}-6y^{\,7}z^{\,5}+5xy^{\,2}z^{\,6}\right){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -12y^{\,8}z^{\,4}(3x^{\,4}-6y^{\,7}z^{\,5}+5xy^{\,2}z^{\,6}){\small .}\)