Skip to main content

Теория: Алгебраические преобразования системы линейных уравнений

Задание

Дана система линейных уравнений:

\begin{array}{rl}
\left\{
\vphantom{\begin{align}
1\\
{\small \displaystyle\frac{2}{3}}
\end{align}}
\right.&\kern{-1.5em}
\begin{align}
{\small \displaystyle\frac{2}{3}}x+{\small \displaystyle\frac{5}{3}}y=&{\small -\displaystyle\frac{1}{3}},\\
{\small \displaystyle\frac{6}{7}}x-{\small \displaystyle\frac{2}{7}}y=&2
{\small .}\end{align}
\end{array}


Умножьте первое уравнение на 3, а второе на 7{\small : }


\left\{
\vphantom{\begin{align}
1\\[5px]
1
\end{align}}
\right.
2x+5y
=,
6x-2y
=.

 

Решение

Умножим в данной системе обе части первого уравнения на 3{\small , } а второго уравнения  – на 7{\small : }

\begin{array}{rl}
\left\{
\vphantom{\begin{align}
1\\
{\small \displaystyle\frac{2}{3}}
\end{align}}
\right.&\kern{-1.5em}
\begin{align}
\left({\small \displaystyle\frac{2}{3}}x+{\small \displaystyle\frac{5}{3}}y\right)\cdot \color{blue}{ 3}=&{\small -\displaystyle\frac{1}{3}}\cdot \color{blue}{ 3},\\
\left({\small \displaystyle\frac{6}{7}}x-{\small \displaystyle\frac{2}{7}}y\right)\cdot \color{green}{ 7}=&2\cdot \color{green}{ 7}
{\small .}\end{align}
\end{array}

Раскроем скобки в обоих уравнениях:

\begin{array}{rl}
\left\{
\vphantom{\begin{align}
1\\
{\small \displaystyle\frac{2}{3}}
\end{align}}
\right.&\kern{-1.5em}
\begin{align}
{\small \displaystyle\frac{2}{3}}x\cdot \color{blue}{ 3}+{\small \displaystyle\frac{5}{3}}y\cdot \color{blue}{ 3}=&{\small -\displaystyle\frac{1}{3}}\cdot \color{blue}{ 3},\\
{\small \displaystyle\frac{6}{7}}x\cdot \color{green}{ 7}-{\small \displaystyle\frac{2}{7}}y\cdot \color{green}{ 7}=&2\cdot \color{green}{ 7}
{\small .}\end{align}
\end{array}

Перемножая, получаем систему:

\begin{array}{rl}
\left\{
\vphantom{\begin{align}
1\\
{\small \displaystyle\frac{2}{3}}
\end{align}}
\right.&\kern{-1.5em}
\begin{align}
2x+5y=&-1,\\
6x-2y=&14
{\small .}\end{align}
\end{array}

Таким образом, после умножения первого уравнения на 3 и второго уравнения  на 7 данная в условии система примет вид:

\begin{array}{rl}
\left\{
\vphantom{\begin{align}
1\\
{\small \displaystyle\frac{2}{3}}
\end{align}}
\right.&\kern{-1.5em}
\begin{align}
\bf 2x+5y=&\bf -1,\\
\bf 6x-2y=&\bf 14
{\small .}\end{align}
\end{array}