Skip to main content

Теория: Уравнения, сводящиеся к линейным - 2 (* доп. раздел)

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle (5x-1)(x+7)(x-1)=(5x-1)(x^{\, 2}+5x-1)\)


\(\displaystyle x_1=\)
\frac{1}{5}
,  \(\displaystyle x_2=\)
6
Решение

Нам дано уравнение \(\displaystyle (5x-1)(x+7)(x-1)=(5x-1)(x^{\, 2}+5x-1){\small . }\)


Перенесем всё в левую часть:

\(\displaystyle (5x-1)(x+7)(x-1)-(5x-1)(x^{\, 2}+5x-1)=0{\small . }\)


Вынесем за скобки общий множитель \(\displaystyle \color{blue}{ (5x-1)}{\small : } \)

\(\displaystyle \color{blue}{ (5x-1)}(x+7)(x-1)-\color{blue}{ (5x-1)}(x^{\, 2}+5x-1)=\color{blue}{ (5x-1)}\big( (x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)\big){\small . }\)


Получили уравнение

\(\displaystyle (5x-1)\big((x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)\big)=0{\small . }\)

Решим его. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно:

\(\displaystyle 5x-1=0\) или \(\displaystyle (x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)=0{\small .}\)


Решим каждое из полученных уравнений.

1. Уравнение \(\displaystyle 5x-1=0{\small . } \)

\(\displaystyle 5x-1=0{\small ; } \)

\(\displaystyle 5x=1{\small ; } \)

\(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 5}{\small . } \)


2. Уравнение \(\displaystyle (x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)=0{\small . } \)

Раскроем скобки:

\(\displaystyle \begin{aligned} (x+7)(x-1)-(x^{\, 2}+5x-1)&=x\,(x-1)+7(x-1)-x^{\, 2}-5x+1=\\ &=x^{\,2}-x+7x-7-x^{\, 2}-5x+1{\small . } \end{aligned} \)

Приведем подобные:

\(\displaystyle x^{\,2}-x+7x-7-x^{\, 2}-5x+1=x-6{\small . } \)

Получили линейное уравнение:

\(\displaystyle x-6=0{\small , } \)

\(\displaystyle x=6{\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle x_1=\frac{ 1}{ 5} {\small , }\) \(\displaystyle x_2=6{\small . } \)