Skip to main content

Теория: Деление многочлена на одночлен

Задание

Найдите частное при делении многочлена на одночлен:
 

\displaystyle\frac{28x^{\,2}y^{\,10}z^{\,4}-17x^{\,3}y^{\,2}z^{\,9}-11x^{\,3}yz^{\,15}}{x^{\,2}yz^{\,3}} =
28y^9z-17xyz^6-11xz^{12}

 

Решение

Распишем дробь:

\displaystyle\frac{28x^{\,2}y^{\,10}z^{\,4}-17x^{\,3}y^{\,2}z^{\,9}-11x^{\,3}yz^{\,15}}{x^{\,2}yz^{\,3}}=
\displaystyle\frac{28x^{\,2}y^{\,10}z^{\,4}}{x^{\,2}yz^{\,3}}-\displaystyle\frac{17x^{\,3}y^{\,2}z^{\,9}}{x^{\,2}yz^{\,3}}-\displaystyle\frac{11x^{\,3}yz^{\,15}}{x^{\,2}yz^{\,3}} {\small .}

Вынесем числовые коэффициенты у каждого члена:

\displaystyle\frac{28x^{\,2}y^{\,10}z^{\,4}}{x^{\,2}yz^{\,3}}-\displaystyle\frac{17x^{\,3}y^{\,2}z^{\,9}}{x^{\,2}yz^{\,3}}-\displaystyle\frac{11x^{\,3}yz^{\,15}}{x^{\,2}yz^{\,3}} =
28\displaystyle\frac{x^{\,2}y^{\,10}z^{\,4}}{x^{\,2}yz^{\,3}}-17\displaystyle\frac{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,9}}{x^{\,2}yz^{\,3}}-11\displaystyle\frac{x^{\,3}yz^{\,15}}{x^{\,2}yz^{\,3}}
{\small .}

Далее используем формулу частного степеней для каждой дроби (делим на x^{\,2}yz^{\,3}):

\begin{array}{l}
28\displaystyle\frac{x^{\,2}y^{\,10}z^{\,4}}{x^{\,2}yz^{\,3}}-17\displaystyle\frac{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,9}}{x^{\,2}yz^{\,3}}-11\displaystyle\frac{x^{\,3}yz^{\,15}}{x^{\,2}yz^{\,3}}=\\[10px]
\kern{5em} =28x^{\,2-2}y^{\,10-1}z^{\,4-3}-17x^{\,3-2}y^{\,2-1}z^{\,9-3}-11x^{\,3-2}y^{\,1-1}z^{\,15-3}=\\[10px]
\kern{9em} =28x^{\,0}y^{\,9}z^{\,1}-17x^{\,1}y^{\,1}z^{\,6}-11x^{\,1}y^{\,0}z^{\,12}=28y^{\,9}z-17xyz^{\,6}-11xz^{\,12}
{\small .}\end{array}


Ответ: 28y^{\,9}z-17xyz^{\,6}-11xz^{\,12}{\small .}