Найдите частное при делении многочлена на одночлен:
Дробные числовые коэффициенты в ответе запишите в виде обыкновенных дробей.
Поделить многочлен \(\displaystyle 3x^{\,15}y^{\,7}z^{\,5}-\frac{3}{8}x^{\,11}y^{\,10}z^{\,6}+\frac{1}{3}x^{\,7}y^{\,6}z^{\,6}+\frac{5}{6}x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}\) на \(\displaystyle \frac{3}{7}x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\) означает поделить каждый его член на \(\displaystyle \frac{3}{7}x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}{\small .}\) Поэтому:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\left(3x^{\,15}y^{\,7}z^{\,5}-\cfrac{3}{8}\ x^{\,11}y^{\,10}z^{\,6}+\cfrac{1}{3}\ x^{\,7}y^{\,6}z^{\,6}+\cfrac{5}{6}\ x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}\right):\left(\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\right)=\\[20pt]\kern{3em} =\left(3x^{\,15}y^{\,7}z^{\,5}\right):\left(\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\right)-\left(\cfrac{3}{8}\ x^{\,11}y^{\,10}z^{\,6}\right):\left(\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\right)+\\[20pt]\kern{7em} +\left(\cfrac{1}{3}\ x^{\,7}y^{\,6}z^{\,6}\right):\left(\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\right)+ \left(\cfrac{5}{6}\ x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}\right):\left(\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\right){\small .}\end{array}\)
Заменим знак деления \(\displaystyle ":"\) на черту дроби:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\left(3x^{\,15}y^{\,7}z^{\,5}\right):\left(\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\right)-\left(\cfrac{3}{8}\ x^{\,11}y^{\,10}z^{\,6}\right):\left(\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\right)+\\[20pt]\kern{7em} +\left(\cfrac{1}{3}\ x^{\,7}y^{\,6}z^{\,6}\right):\left(\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\right)+ \left(\cfrac{5}{6}\ x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}\right):\left(\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}\right)=\\[20px]\kern{5em} =\cfrac{3x^{\,15}y^{\,7}z^{\,5}}{\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}}-\cfrac{\cfrac{3}{8}\ x^{\,11}y^{\,10}z^{\,6}}{\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}}+\cfrac{\cfrac{1}{3}\ x^{\,7}y^{\,6}z^{\,6}}{\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}}+\cfrac{\cfrac{5}{6}\ x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}{\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}}{\small .}\end{array}\)
Поделим друг на друга числовые коэффициенты в каждой дроби и применим к степеням формулу частного степеней:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\cfrac{3x^{\,15}y^{\,7}z^{\,5}}{\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}}-\cfrac{\cfrac{3}{8}\ x^{\,11}y^{\,10}z^{\,6}}{\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}}+\cfrac{\cfrac{1}{3}\ x^{\,7}y^{\,6}z^{\,6}}{\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}}+\cfrac{\cfrac{5}{6}\ x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}{\cfrac{3}{7}\ x^{\,2}y^{\,4}z^{\,2}}=\\[25px]\kern{1em} =\left(3:\cfrac{3}{7}\right)x^{\,15-2}y^{\,7-4}z^{\,5-2}-\left(\cfrac{3}{8}:\cfrac{3}{7}\right)x^{\,11-2}y^{\,10-4}z^{\,6-2}+\\[20pt]\kern{7em} +\left(\cfrac{1}{3}:\cfrac{3}{7}\right)x^{\,7-2}y^{\,6-4}z^{\,6-2}+\left(\cfrac{5}{6}:\cfrac{3}{7}\right)x^{\,4-2}y^{\,4-4}z^{\,3-2}=\\[20px]\kern{14em} =7x^{\,13}y^{\,3}z^{\,3}-\cfrac{7}{8}\ x^{\,9}y^{\,6}z^{\,4}+\cfrac{7}{9}\ x^{\,5}y^{\,2}z^{\,4}+\cfrac{35}{18}\ x^{\,2}z{\small .}\end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle 7x^{\,13}y^{\,3}z^{\,3}-\frac{7}{8}\ x^{\,9}y^{\,6}z^{\,4}+\frac{7}{9}\ x^{\,5}y^{\,2}z^{\,4}+\frac{35}{18}\ x^{\,2}z{\small .}\)