Skip to main content

Теория: Возведение в квадрат выражения, содержащего корень квадратный - 1

Задание

Найдите квадрат разности и упростите выражение:

\(\displaystyle (\sqrt{3}-5\sqrt{2})^2=\)
53-10\sqrt{6}
Решение

Раскроем скобки в выражении \(\displaystyle (\sqrt{ 3}-5\sqrt{2})^2{\small , }\) используя формулу квадрата разности.

Квадрат разности

Получаем:

\(\displaystyle (\sqrt{ 3}-5\sqrt{2})^2= \left(\sqrt{3} \right)^2- 2\cdot \sqrt{ 3} \cdot 5\sqrt{2} + \left(5\sqrt{2} \right)^2 {\small . }\)

Еще раз раскроем скобки, используя формулу произведения в степени.

Произведение в степени

Получаем:

\(\displaystyle \left(\sqrt{3} \right)^2- 2\cdot \sqrt{ 3}\cdot 5\sqrt{2} + \left(5\sqrt{2} \right)^2= \left(\sqrt{ 3}\right)^2- 2\cdot \sqrt{ 3} \cdot 5\sqrt{2} + 5^2\cdot \left(\sqrt{ 2}\right)^2 {\small . }\)

По определению корня, \(\displaystyle \left(\sqrt{ 3}\right)^2=3\) и \(\displaystyle \left(\sqrt{ 2}\right)^2=2{\small . } \) Кроме того, по свойству корня \(\displaystyle \sqrt{ 3}\cdot \sqrt{ 2}=\sqrt{ 3\cdot 2}{\small . } \) Значит,

\(\displaystyle \left(\sqrt{ 3}\right)^2- 2\cdot \sqrt{ 3}\cdot 5\sqrt{2} + 5^2\cdot \left(\sqrt{ 2}\right)^2= 3-10\sqrt{ 3\cdot 2}+25\cdot 2=53-10\sqrt{ 6}{\small . }\)


Ответ: \(\displaystyle 53-10\sqrt{ 6} {\small . }\)