Skip to main content

Теория: Сокращение дробей и избавление от иррациональности в знаменателе

Задание

Считая, что \(\displaystyle a>b{\small , } \) избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\)
\sqrt{a}-\sqrt{b}
 
a-b

(ответ запишите так, чтобы знаменатель дроби был положительным).

(В ответе используйте знак \(\displaystyle \sqrt{\phantom{5}}\))

(В ответе используйте знак \(\displaystyle \sqrt{\phantom{5}}\))

Решение

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\small . }\)

Домножим числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle \color{red}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\small , } \) чтобы в знаменателе дроби можно было применить формулу разности квадратов:

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}}= \frac{ 1\cdot (\color{red}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\,) }{ (\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)\cdot (\color{red}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\,)} {\small . }\)

Так как по формуле разности квадратов \(\displaystyle (\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b}\,)= (\sqrt{ a}\,)^2- (\sqrt{ b}\,)^2= a-b{\small , } \) то

\(\displaystyle \frac{ 1\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b}\,) }{ (\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b}\,)}= \frac{ \sqrt{a}-\sqrt{b} }{ a-b}{\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle \frac{ \sqrt{a}-\sqrt{b} }{ a-b}{\small . } \)