Skip to main content

Теория: Разность квадратов, квадрат суммы/разности и выражения, содержащие радикал

Задание

Найдите произведение, используя формулы сокращенного умножения:

\(\displaystyle \left(\sqrt{6-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\,\right)\left(\sqrt{6-\sqrt{2}}+\sqrt{6}\,\right)=\)
-\sqrt{2}
Решение

Формула разности квадратов

Правило

Разность квадратов

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle \left(a+b\,\right)\left(a-b\,\right)=a^2-b^2{\small . }\)

Воспользуемся формулой разности квадратов, где \(\displaystyle a=\sqrt{ 6-\sqrt{2}} \) и \(\displaystyle b= \sqrt{ 6} \,{\small : }\)

\(\displaystyle \left(\sqrt{6-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\,\right)\left(\sqrt{6-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\,\right)= \left(\sqrt{ 6-\sqrt{2}}\,\right)^2- \left(\sqrt{ 6}\,\right)^2 {\small . }\)

Так как по определению корня \(\displaystyle \left(\sqrt{ 6-\sqrt{2}}\,\right)^2=6-\sqrt{2} \) и \(\displaystyle \left(\sqrt{ 6}\,\right)^2=6{\small , } \) то получаем:

\(\displaystyle \left(\sqrt{ 6-\sqrt{2}}\,\right)^2- \left(\sqrt{ 6}\,\right)^2= 6-\sqrt{2}-6= -\sqrt{ 2} {\small . }\)

Ответ: \(\displaystyle -\sqrt{2}{\small . } \)