Skip to main content

Теория: Разность квадратов, квадрат суммы/разности и выражения, содержащие радикал

Задание

Упростите выражение, используя формулы сокращенного умножения:

\(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2=\)
6
Решение

Формула квадрата суммы

Правило

Квадрат суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2{\small . }\)

Воспользуемся формулой квадрата суммы, где \(\displaystyle a=\sqrt{2+\sqrt{3}}\) и \(\displaystyle b=\sqrt{2-\sqrt{3}}{\small . }\)

Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2 =\\[10pt]&\kern{-6em}=\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2+2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}+ \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2 {\small . }\end{aligned}\)

По определению корня, \(\displaystyle \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2=2+\sqrt{3}\) и \(\displaystyle \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2=2-\sqrt{3}{\small . } \)

Кроме того, по свойствам корня

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}= 2\cdot \sqrt{(2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)}{\small . } \)

Так как по формуле разности квадратов \(\displaystyle (2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)=2^2-(\sqrt{3}\,)^2{\small , } \) то

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{(2+\sqrt{3}\,)\cdot (2-\sqrt{3}\,)}= 2\sqrt{2^2-(\sqrt{3}\,)^2}= 2\sqrt{ 4-3}=2\sqrt{ 1}=2\cdot 1=2 {\small . }\)

Значит,

\(\displaystyle \begin{aligned}\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\right)^2+2\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}+ \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\right)^2=\\[10pt] &\kern{-6em}=2+\sqrt{3}+2+2-\sqrt{3}= 6{\small . }\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle 6{\small . } \)