Skip to main content

Теория: Разложение квадратичного многочлена на множители

Задание

Разложите квадратный трехчлен на множители:

\(\displaystyle -10x^2+10x+200=\)
-10(x-5)(x+4)
Решение

Выделим коэффициенты в данном квадратном трехчлене:

\(\displaystyle -10x^2+10x+200=\color{red}{ -10}x^2+\color{green}{ 10}x+\color{blue}{ 200}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ -10}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 10}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 200}{\small .} \)

Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:

\(\displaystyle -10x^2+10x+200=0{ \small ,} \)

и найдем его корни.

Корни квадратного уравнения

Вычислим дискриминант. Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{10}^2-4\cdot (\color{red}{ -10})\cdot \color{blue}{ 200}=100+8000=8100\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 8100}=90{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-10+90}{-20}=\frac{80}{-20}=-4{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-10-90}{-20}=\frac{-100}{-20}=5{\small .}\)


Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ -10}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle -4\) и \(\displaystyle 5{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle -10x^2+10x+200=\color{red}{ -10}\cdot (x-(-4))(x-5)=-10(x+4)(x-5) {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle -10(x+4)(x-5){\small .} \)