Skip to main content

Теория: Положение квадратичной функции и дискриминант (в стадии наполнения)

Задание

Определите знак дискриминанта \(\displaystyle {\rm D}\) квадратичной функции по ее положению.

Решение

Определим на параболе \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) точки, которые являются корнями квадратного уравнения \(\displaystyle ax^2+bx+c=0 {\small .} \)

Поскольку \(\displaystyle ax^2+bx+c=0{ \small ,} \) то это точки на параболе, для которых \(\displaystyle y=0{ \small .} \) Точки, у которых \(\displaystyle y=0{ \small ,} \) лежат также на оси \(\displaystyle \rm OX{\small .} \)

То есть, с одной стороны, точки лежат на параболе, а с другой – на оси \(\displaystyle \rm OX{\small .} \) Значит, это точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX {\small .}\)

Перечислим возможные случаи:

Число точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX \)Число корней квадратного уравнения
Две точки пересеченияДва решения
Одна точка пересечения (касание оси)Одно решение
Нет точек пересеченияНет решений


Или, формулируя через дискриминант:

Число точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX \)Знак дискриминанта \(\displaystyle \rm D \)
Две точки пересечения\(\displaystyle {\rm D}>0 \)
Одна точка пересечения (касание оси)\(\displaystyle {\rm D}=0 \)
Нет точек пересечения\(\displaystyle {\rm D}<0 \)


Определим количество точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX \) для рисунка из условия задачи:


Точек пересечения с осью \(\displaystyle \rm OX \) нет. Значит, \(\displaystyle {\rm D}<0 {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle {\rm D}<0 {\small .}\)