Skip to main content

Теория: Выделение полного квадрата и дискриминант приведенного квадратного уравнения

Задание

Выделите полный квадрат в левой части уравнения

\(\displaystyle x^2-2\cdot b \cdot x+c=0{\small . }\)

и найдите равносильное уравнение после его выделения:

 \(\displaystyle \Big(\)\(\displaystyle \Big)^2=\)
b^2-c
Решение

Перепишем данное выражение:

\(\displaystyle x^2-2\cdot b\cdot x+c=x^2-2\cdot x\cdot b+c{\small . }\)

Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.

Квадрат разности

Сравним формулу квадрата разности и наше выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{b}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности,

то есть

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{b}\,+\color{green}{b^2}{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому дополним выражение

\(\displaystyle x^2-2\cdot x\cdot b+c=0\)

с обеих сторон слагаемым \(\displaystyle \color{green}{b^2}{\small :}\)

\(\displaystyle x^2-2\cdot x\cdot b+\color{green}{b^2}+c=\color{green}{b^2}{\small ,}\)

и свернем квадрат разности слева:

\(\displaystyle x^2-2\cdot x\cdot b+b^2+c=b^2{\small ; }\)

\(\displaystyle (x-b)^2+c=b^2{\small .}\)

Перенося \(\displaystyle c \) вправо, получаем:

\(\displaystyle (x-b)^2=b^2-c{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle (x-b)^2=b^2-c{\small .}\)