Skip to main content

Теория: Выделение полного квадрата и дискриминант приведенного квадратного уравнения

Задание

После выделения полного квадрата в уравнении 

\(\displaystyle x^2+bx+c=0\)

получаем равносильное уравнение вида

\(\displaystyle \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{\color{red}{\rm D}}{4}\)

Найдите выражение \(\displaystyle \color{red}{\rm D}{ \small ,}\) называемое дискриминантом данного квадратного уравнения:

\(\displaystyle \color{red}{\rm D}=\)
b^2-4c
Решение

Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.

Квадрат суммы

Перепишем выражение \(\displaystyle x^2+bx\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2+\color{red}{2}\cdot \frac{ bx}{ \color{red}{2} }=x^2+\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{b}{2}{\small .}\)

Сравним формулу и наше выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{b}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle \color{blue}{a} \rightarrow \color{blue}{ x }\) и \(\displaystyle \color{green}{b} \rightarrow \color{green}{ \frac{b}{2}}{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b^2}\rightarrow\color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат суммы,

то есть

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{b}{2}}\,+\color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому дополним выражение

\(\displaystyle x^2+bx+c=0\)

с обеих сторон слагаемым \(\displaystyle \color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small :}\)

\(\displaystyle x^2+bx+\color{green}{\frac{b^2}{4}}+c=\color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small ,}\)

и распишем квадрат суммы слева явно:

\(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}+c=\frac{b^2}{4}{\small ; }\)

\(\displaystyle \left(x+\frac{b}{2}\right)^2+c=\frac{b^2}{4}{\small . }\)

Перенесем \(\displaystyle c \) вправо:

\(\displaystyle \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2}{4}-c{\small , }\)

\(\displaystyle \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2-4c}{4}{\small . }\)

Сравним полученное уравнение с заданным в условии:

\(\displaystyle \begin{aligned} \left(x+\frac{b}{2}\right)^2&=\frac{b^2-4c}{4} \\\left(x+\frac{b}{2}\right)^2&=\frac{\color{red}{\rm D}}{4} \end{aligned} \)

Значит,

\(\displaystyle \color{red}{\rm D}=\color{blue}{ b^2-4c}{\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle \color{red}{\rm D}=\color{blue}{ b^2-4c}{\small . } \)