Skip to main content

Теория: НОД и разложение на простые множители

Задание

Найти наибольший общий делитель для чисел \(\displaystyle 2^{3}\cdot 7^{12}\cdot 11^{2} \) и \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{3}\), заполнив показатели степеней:

 

\(\displaystyle \text{НОД}(2^{3}\cdot 7^{12}\cdot 11^{2}, 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{3})\)\(\displaystyle =\)\(\displaystyle 2\)

 

\(\displaystyle \cdot\)\(\displaystyle 7\)

 

 

Решение

Правило

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, разложенных на простые множители, надо:

1) выбрать общие простые множители в наименьших степенях;

2) произведение этих множителей и будет наибольшим общим делителем двух чисел.

 

1. Выпишем простые множители двух чисел.

Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 2^{3}\cdot 7^{12}\cdot 11^{2}\)  – это \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 11\).

Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{3}\)  – это \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 13\).

Общие простые множители: \(\displaystyle {\bf 2}\) и \(\displaystyle {\bf 7}\).

 

2. Выберем общие простые множители в наименьших степенях.

Рассмотрим \(\displaystyle 2^{3}\) в первом числе и \(\displaystyle 2^{7}\) во втором числе. Наименьшая степень из \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 7\) – это \(\displaystyle {\bf3}\), следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 2^{\color{blue}{3}}\).

Рассмотрим \(\displaystyle 7^{12}\) в первом числе и \(\displaystyle 7^{10}\) во втором числе. Наименьшая степень из \(\displaystyle 12\) и \(\displaystyle 10\) – это \(\displaystyle {\bf10}\), следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 7^{{\color{red}{10}}}\).

 

3. Таким образом, наибольшим общим делителем исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 2^3 \cdot 7^{10}\).

 

Ответ: \(\displaystyle 2^{\bf {\color{blue}{3}}}\cdot 7^{\bf{\color{red}{10}}}\).