Skip to main content

Теория: Вычитание дробей с использованием наименьшего общего знаменателя

Задание

Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой  знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):

 

\(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}-\frac{1}{5\cdot 22}\,=\)
 

 

Решение

Определение

Наименьший общий знаменатель

Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.

Для того, чтобы найти разность дробей

\(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}-\frac{1}{5\cdot 22}\),

 

приведем их к наименьшему общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби равен \(\displaystyle 14\cdot 15=2\cdot 7\cdot 3\cdot 5\) (разложение на простые).

Знаменатель второй дроби равен \(\displaystyle 5\cdot 22=5\cdot 2 \cdot 11\) (разложение на простые).

Наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 14\cdot 15=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\) и \(\displaystyle 5\cdot 22=2\cdot 5\cdot 11\) (см. темы НОК и разложение на простые множители) равно

 

\(\displaystyle НОК(14\cdot 15, 5\cdot 22)=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \cdot 11=2310\),

 

следовательно, \(\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \cdot 11=2310\) - наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}\) и \(\displaystyle \frac{1}{5\cdot 22}\).

Тогда

\(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}=\frac{10\cdot {\bf 11}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot {\bf11}}=\frac{110}{2310}\)

и

\(\displaystyle \frac{1}{5\cdot 22}=\frac{1\cdot {\bf 3} \cdot {\bf 7}}{2\cdot 5\cdot 11\cdot {\bf 3} \cdot {\bf 7}}=\frac{21}{2310}\).

 

Теперь можно вычесть дроби, заменяя каждую из них на дробь с общим знаменателем,

 

\(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}-\frac{1}{5\cdot 22}=\frac{10\cdot 11}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11}-\frac{1\cdot 3 \cdot 7}{2\cdot 5\cdot 11\cdot 3\cdot 7}=\frac{110}{2310}-\frac{21}{2310}=\frac{110-21}{2310}=\frac{89}{2310}\).

 

Ответ: \(\displaystyle \frac{89}{2310}\).