Skip to main content

Теория: Элементарные показательные неравенства (в стадии наполнения)

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle 0{,}7^{x} \le 1-\sqrt{2}{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Определим, является ли число \(\displaystyle 1-\sqrt{2}\) положительным или отрицательным.

\(\displaystyle 1-\sqrt{2} <0\)

\(\displaystyle 1-\sqrt{2} \vee 0\)

Перенесем \(\displaystyle \sqrt{ 2} \) вправо:

\(\displaystyle 1\vee \sqrt{2}{ \small .}\)

Так как \(\displaystyle 1>0 \) и \(\displaystyle \sqrt{2}>0{ \small ,} \) то можно возвести обе части неравенства в квадрат. Получаем:

\(\displaystyle \color{red}{ (}1\color{red}{ )^2} \vee \color{red}{ (}\sqrt{2}\color{red}{ )^2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1\vee 2{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1< 2{\small .}\)

Следовательно, здесь \(\displaystyle \vee\) – это  знак \(\displaystyle <{\small .}\)

Таким образом, \(\displaystyle 1-\sqrt{2} <0{\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle 0{,}7^x \) всегда больше нуля и \(\displaystyle 1-\sqrt{2} <0{\small ,}\) то это означает, что в неравенстве

\(\displaystyle 0{,}7^x\le 1-\sqrt{2} \)

слева стоит положительное число, а справа – отрицательное.

Так как положительное число всегда больше отрицательного, то это означает,

что неравенство \(\displaystyle 0{,}7^x\le 1-\sqrt{2} \) не имеет решений.

Ответ: \(\displaystyle \varnothing{\small .} \)