Skip to main content

Теория: Элементарные показательные неравенства (в стадии наполнения)

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle 11^{x} \ge 2-\sqrt{3}{\small .}\)

\(\displaystyle x\)
\log_{11}(2-\sqrt{3})
Решение

Определим является ли число \(\displaystyle 2-\sqrt{3}\) положительным или отрицательным.

\(\displaystyle 2-\sqrt{3} >0\)

Так как \(\displaystyle 2-\sqrt{3} >0{ \small ,}\) то прологарифмируем обе части неравенства \(\displaystyle 11^{x} \ge 2-\sqrt{3}\) по основанию \(\displaystyle 11{\small .}\)

Основание логарифма \(\displaystyle 11>1{\small .}\) Следовательно, знак неравенства сохраняется:

\(\displaystyle \log_{11}(11^{x}) \ge \log_{11}(2-\sqrt{3}){\small .}\)

По основному свойству логарифма \(\displaystyle \log_{11}(11^{x})=x{\small .}\) Таким образом,

\(\displaystyle x \ge \log_{11}(2-\sqrt{3}){\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle x \ge \log_{11}(2-\sqrt{3}){\small .}\)