Задание
Решите неравенство:
\(\displaystyle 11^{x} \ge 2-\sqrt{3}{\small .}\)
\(\displaystyle x\)
Решение
Определим является ли число \(\displaystyle 2-\sqrt{3}\) положительным или отрицательным.
\(\displaystyle 2-\sqrt{3} >0\)
Так как \(\displaystyle 2-\sqrt{3} >0{ \small ,}\) то прологарифмируем обе части неравенства \(\displaystyle 11^{x} \ge 2-\sqrt{3}\) по
основанию \(\displaystyle 11{\small .}\)
Основание логарифма \(\displaystyle 11>1{\small .}\) Следовательно, знак неравенства сохраняется:
\(\displaystyle \log_{11}(11^{x}) \ge \log_{11}(2-\sqrt{3}){\small .}\)
По основному свойству логарифма \(\displaystyle \log_{11}(11^{x})=x{\small .}\) Таким образом,
\(\displaystyle x \ge \log_{11}(2-\sqrt{3}){\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle x \ge \log_{11}(2-\sqrt{3}){\small .}\)