Skip to main content

Теория: 02 Числовые выражения (корень n-ой степени, степень с рациональным и иррациональным показателем)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \left(\frac{{7^ \frac{1}{5}\cdot 7^ \frac{4}{15}}}{\sqrt[15]{7}}\right)^5=\) 

Решение

Представим корень в знаменателе дроби в виде степени с рациональным показателем:

\(\displaystyle \left(\frac{{7^ \frac{1}{5}\cdot 7^ \frac{4}{15}}}{\sqrt[15]{7}}\right)^5 = \left(\frac{{7^ \frac{1}{5}\cdot 7^ \frac{4}{15}}}{7^{\frac{1}{15}}}\right)^5{\small .}\)

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются. А при делении вычитаются. 

Значит,

\(\displaystyle \left(\frac{{7^ \frac{1}{5}\cdot 7^ \frac{4}{15}}}{7^{\frac{1}{15}}}\right)^5 =\left(\frac{{7^ {\frac{1}{5} + \frac{4}{15}}}}{7^{\frac{1}{15}}}\right)^5=\left(7^{\frac{1}{5}+\frac{4}{15}-\frac{1}{15}}\right)^5{\small .}\)

Сложим дроби в показателе степени:

\(\displaystyle \left(7^{\frac{1}{5}+\frac{4}{15}-\frac{1}{15}}\right)^5=\left(7^{\frac{3+4-1}{15}}\right)^5=\left(7^{\frac{6}{15}}\right)^5=\left(7^{\frac{2}{5}}\right)^5{\small .}\)

Раскроем скобки. По правилу степени в степени показатели степеней перемножаются. 

То есть 

\(\displaystyle \left(7^{\color{green}{\frac{2}{5}}}\right)^\color{blue} {5}=7^{\color{green}{\frac{ 2}{ 5 }}\cdot \color{blue} {5}}=7^2 =49{\small .}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \left(\frac{{7^ \frac{1}{5}\cdot 7^ \frac{1}{15}}}{\sqrt[15]{7}}\right)^5 =\left(\frac{{7^ \frac{1}{5}\cdot 7^ \frac{4}{15}}}{7^{\frac{1}{15}}}\right)^5=\left(7^{\frac{1}{5}+\frac{4}{15}-\frac{1}{15}}\right)^5=\left(7^{\frac{2}{5}}\right)^5=49{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 49{\small .}\)