Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{9} 4}= \)
В условии \(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{9} 4}\) логарифмы имеют разные основания, однако они связаны друг с другом:
\(\displaystyle 9=3^2{\small,}\)
то есть
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{9} 4}=\frac{ \log_{3} 4}{\log_{3^2} 4} {\small.}\)
Вынесем показатель степени из-под логарифма, применив свойство:
\(\displaystyle \log_{a^{\color{red}k}} b=\frac{1}{\color{red}k} \log_a b\)
\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1, k\, \cancel=\, 0 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{3^{\color{red}2}} 4=\frac{1}{\color{red}2}\log_3 4 {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{3^2} 4}=\frac{ \log_{3} 4}{\frac{1}{2}\log_{3} 4}=\frac{ 2\log_{3} 4}{\log_{3} 4}{\small.}\)
Сократим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{ 2 \,\cancel{\log_{3} 4}}{\cancel{\log_{3} 4}}=2{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{9} 4}=\frac{ \log_{3} 4}{\log_{3^2} 4}=\frac{ \log_{3} 4}{\frac{1}{2}\log_{3} 4}=\frac{ 2\log_{3} 4}{\log_{3} 4}=2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 2 {\small.} \)