Skip to main content

Теория: Максимум и минимум (логарифмические функции) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите наименьшее значение функции \(\displaystyle f(x)=9x-\ln \left(9x\right)+3\) на отрезке \(\displaystyle \left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right] {\small.}\)

4
Решение

Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=9x-\ln \left(9x\right)+3{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \ln (9x)\) определен только тогда, когда \(\displaystyle 9x>0{\small,}\) то область определения имеет вид

\(\displaystyle x > 0{\small.}\)

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=9x-\ln \left(9x\right)+3{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(9x-\ln \left(9x\right)+3\right)^{\prime}=9-\frac{1}{x}{\small.}\)

2) Найдем интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=9-\frac{1}{x}{\small.}\)

\(\displaystyle {\left(0;\, \frac{1}{9}\right)}{\small,}\) \(\displaystyle {\left(\frac{1}{9};\,+\infty\right)}\) – интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=9-\frac{1}{x}{\small.}\)

3) Определим знаки производной на получившихся интервалах.

  • на интервале \(\displaystyle \color{green}{\left(\frac{1}{9};\, +\infty\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(0;\,\frac{1}{9}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=9x-\ln \left(9x\right)+3{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Точка \(\displaystyle x=\frac{1}{9}\) принадлежит области определения \(\displaystyle f(x){\small.}\)

Значит, \(\displaystyle x=\frac{1}{9}\) – точка минимума функции \(\displaystyle f(x)=9x-\ln \left(9x\right)+3{\small.}\)

5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[\frac{1}{18};\,\frac{5}{18}\right]\) достигается наименьшее значение.

Отметим на картинке интервал \(\displaystyle \left[\frac{1}{18};\,\frac{5}{18}\right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[\frac{1}{18};\,\frac{5}{18}\right]\) функция убывает до точки \(\displaystyle x=\frac{1}{9}{\small,}\) а затем возрастает.

Значит, наименьшее значение доcтигается в точке \(\displaystyle {x=\frac{1}{9}}{\small.}\)

Вычислим значение в этой точке:

\(\displaystyle f\left(\frac{1}{9}\right)=9\cdot\frac{1}{9}-\ln \left(9\cdot\frac{1}{9}\right)+3=1-0+3=4{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 4{\small.}\)