Skip to main content

Теория: Максимум и минимум (логарифмические функции) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите наибольшее значение функции \(\displaystyle f(x)=12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3\) на отрезке \(\displaystyle [-0{,}9;\, 0]{\small.}\)

-6
Решение

Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \ln((x+1)^{3})\) определен только тогда, когда \(\displaystyle (x+1)^{3}>0{\small,}\) то область определения имеет вид

\(\displaystyle x> -1{\small.}\)

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3\right)^{\prime}=24x+6+\frac{3}{x+1}{\small.}\)

2) Найдем интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=24x+6+\frac{3}{x+1}{\small.}\)

\(\displaystyle \left(-1;\,-\frac{3}{4}\right){\small,}\) \(\displaystyle \left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right){\small,}\) \(\displaystyle {\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}\) – интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=24x+6+\frac{3}{x+1}{\small.}\)

3) Определим знаки производной на получившихся интервалах.

  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{\left(-1;\, -\frac{3}{4}\right)}\) и \(\displaystyle \color{Purple}{\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Точки \(\displaystyle x=-\frac{3}{4}\) и \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) принадлежат области определения \(\displaystyle f(x){\small.}\)

Значит, \(\displaystyle x=-\frac{3}{4}\) – точка максимума функции \(\displaystyle f(x)=12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3{\small.}\)

А точка \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) – точка минимума.

5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[-0{,}9;\,0\right]\) достигается наибольшее значение.

Отметим на картинке интервал \(\displaystyle \left[-0{,}9;\,0\right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[-0{,}9;\,0\right]\) функция \(\displaystyle f(x)\) достигает наибольшего значения либо в точке максимума \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{3}{4}}{ \small ,}\) либо на правом конце \(\displaystyle \color{blue}{x=0}{\small.}\)

Вычислим значения в этих точках и сравним их:

\(\displaystyle \begin{aligned}&f\left(\color{green}{-\frac{3}{4}}\right)=12\left(-\frac{3}{4}\right)^2+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-6+\ln\left(-\frac{3}{4}+1\right)^3=\\[10px]=&6{,}75-4{,}5-6+\ln \left(\frac{1}{4}\right)^3=-3{,}75+\ln \left(\frac{1}{4}\right)^3=-3{,}75+\ln \left(4\right)^{-3}=\color{green}{-3{,}75-3\ln 4}{\small,}\end{aligned}\)

\(\displaystyle f(\color{blue}{0})=12\cdot0^2+6\cdot0-6+\ln(0+1)^3=-6+\ln1=-6+0=\color{blue}{-6}{\small.}\)

Поскольку \(\displaystyle 4>e{\small,}\) то и \(\displaystyle \ln 4 > 1 {\small,}\) значит,

\(\displaystyle \color{green}{-3{,}75-3\ln 4}<-3{,}75-3\cdot1=-6{,}75<\color{blue}{-6}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle f\left(\color{green}{-\frac{3}{4}}\right)<f(\color{blue}{0}){\small.}\) 

Значит, наибольшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{blue}{x=0}\) и оно равно \(\displaystyle f(\color{blue}{0})=\color{blue}{-6}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle -6{\small.}\)