Skip to main content

Теория: Максимум и минимум (логарифмические функции) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите наименьшее значение функции \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x\) на отрезке \(\displaystyle [1;\,4]{\small.}\)

-9
Решение

Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \ln x\) определен только тогда, когда \(\displaystyle x>0{\small,}\) то область определения имеет вид

\(\displaystyle x > 0{\small.}\)

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(x^2-10x+12\ln x\right)^{\prime}=2x-10+\frac{12}{x}{\small.}\)

2) Найдем интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=2x-10+\frac{12}{x}{\small.}\)

\(\displaystyle {\left(0;\, 2\right)}{\small,}\) \(\displaystyle \left(2;\,3\right){\small,}\) \(\displaystyle {\left(3;\,+\infty\right)}\) – интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=2x-10+\frac{12}{x}{\small.}\)

3) Определим знаки производной на получившихся интервалах.

  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{\left(0;\, 2\right)}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{\left(3;\, +\infty\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(2;\,3\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Точки \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=3\) принадлежат области определения \(\displaystyle f(x){\small.}\)

Значит, \(\displaystyle x=2\) – точка максимума функции \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x{\small.}\)

А точка \(\displaystyle x=3\) – точка минимума.

5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[1;\,4\right]\) достигается наименьшее значение.

Отметим на картинке интервал \(\displaystyle \left[1;\,4\right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[1;\,4\right]\) функция \(\displaystyle f(x)\) достигает наименьшего значения либо в точке минимума \(\displaystyle \color{green}{x=3}{ \small ,}\) либо на левом конце \(\displaystyle \color{blue}{x=1}{\small.}\)

Вычислим значения в этих точках и сравним их:

\(\displaystyle f\left(\color{green}{3}\right)=3^2-10\cdot3+12\ln 3=9-30+12\ln3=\color{green}{-21+12\ln 3}{\small,}\)

\(\displaystyle f(\color{blue}{1})=1^2-10\cdot1+12\ln1=1-10+12\cdot0=\color{blue}{-9}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 3>e{\small,}\) то \(\displaystyle \ln3>1 {\small,}\) значит,

\(\displaystyle \color{green}{-21+12\ln 3}>-21+12\cdot1=\color{blue}{-9}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle f(\color{green}{3})>f(\color{blue}{1}){\small.}\) 

Значит, наименьшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{blue}{x=1}\) и оно равно \(\displaystyle f(\color{blue}{1})=\color{blue}{-9}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle -9{\small.}\)