Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin22^ \circ}=\)
В данном выражении \(\displaystyle \frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin22^ \circ}\) два разных угла, причем один из них в два раза больше другого:
\(\displaystyle 22^ \circ=2 \cdot \color{red}{11^ \circ} {\small.}\)
То есть:
\(\displaystyle \frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin22^ \circ}=\frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin(2 \cdot \color{red}{ 11^ \circ})}{\small.}\)
Применим формулу синуса двойного угла
\(\displaystyle \sin\, 2\color{red}{ \alpha}=2\sin\color{red}{ \alpha} \, \cos\color{red}{ \alpha}\)
В нашем случае \(\displaystyle \alpha=\color{red}{ 11}^ \circ,\) то есть
\(\displaystyle \sin(2 \cdot \color{red}{ 11}^ \circ)=2\sin \color{red}{ 11}^ \circ \cos \color{red}{ 11}^ \circ{\small.}\)
Тогда:
\(\displaystyle \frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin(2 \cdot \color{red}{ 11}^ \circ)}=\frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{2\sin \color{red}{ 11}^ \circ \cos \color{red}{ 11}^ \circ}{\small.}\)
Сократим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{12 \,\cancel{\sin 11^\circ} \cdot \,\cancel{\cos 11^ \circ}}{2\,\cancel{\sin 11^ \circ} \,\cancel{\cos11^ \circ}}=\frac{12}{2}=6{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin22^ \circ}=\frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{2\sin 11^ \circ \cos11^ \circ}=6{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 6 {\small.} \)