Skip to main content

Теория: Тригонометрия (формулы двойного угла) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \sqrt{3}\cos^2 {\frac{5\pi}{12}} -\sqrt{3} \sin^2 {\frac{5\pi}{12}}=\)

Решение

В данной разности \(\displaystyle \sqrt{3}\cos^2 {\frac{5\pi}{12}} -\sqrt{3} \sin^2 {\frac{5\pi}{12}}\) есть общий множитель \(\displaystyle \sqrt{3}{\small.}\) Вынесем его за скобку:

\(\displaystyle \sqrt{3}\cos^2 {\frac{5\pi}{12}} -\sqrt{3} \sin^2 {\frac{5\pi}{12}}=\sqrt{3}\,(\cos^2 {\frac{5\pi}{12}} -\sin^2 {\frac{5\pi}{12}}) {\small.}\)


В скобках получилась разность квадратов косинуса и синуса. 
При этом как синус, так и косинус имеют один и тот же угол \(\displaystyle \frac{5\pi}{12}.\)

Значит, можно применить формулу косинуса двойного угла:

Правило

\(\displaystyle \cos\, 2\color{red}{\alpha}=\cos^2\color{red}{\alpha}-\sin^2\color{red}{\alpha}\)   

В нашем случае \(\displaystyle \alpha=\frac{5\pi}{12},\) то есть

\(\displaystyle \cos^2 \color{red}{\frac{5\pi}{12}}-\sin^2 \color{red}{\frac{5\pi}{12}}=\cos(2 \cdot \color{red}{\frac{5\pi}{12}})\)

и так как \(\displaystyle 2 \cdot \frac{5\pi}{12}=\frac{5\pi}{6},\) то

\(\displaystyle \cos^2 \frac{5\pi}{12}-\sin^2 \frac{5\pi}{12}=\cos \frac{5\pi}{6}{\small.}\)

Тогда:

\(\displaystyle \sqrt{3}\,(\cos^2 {\frac{5\pi}{12}} -\sin^2 {\frac{5\pi}{12}}) =\sqrt{3} \cos \frac{5\pi}{6} {\small.}\)


Найдём, чему равен \(\displaystyle \cos \frac{5\pi}{6} {\small.}\)

\(\displaystyle \frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}{\small .}\)

Тогда 

\(\displaystyle \cos \frac{5\pi}{6} =\cos (\pi-\frac{\pi}{6}){\small .}\)

Применим формулу приведения по правилу:

Правило

1) Определяем четверть, в которой находится угол.

2) Определяем знак исходной функции.

3) Определяем, какая функция будет

Если к углу \(\displaystyle \pm \alpha \) добавляем или вычитаем

  • \(\displaystyle \pm\pi ,\, \pm 2\pi ,\, \pm 3\pi,\, \pm 4\pi,\,\ldots\) (целое число \(\displaystyle \pi\)), то функцию не меняем;
  • \(\displaystyle \pm\frac{\pi}{2},\, \pm\frac{3\pi}{2},\, \pm\frac{5\pi}{2},\, \pm\frac{7\pi}{2},\, \ldots\) (нечетное число половинок \(\displaystyle \pi\)), то функцию меняем: \(\displaystyle \sin\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \cos\) и \(\displaystyle \tg\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \ctg\).

1. Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle \pi-\frac{\pi}{6}{:}\)

Значит, угол \(\displaystyle \pi-\frac{\pi}{6} \) находится во второй четверти.
 

2. Определим знак исходной функции.

Во второй четверти косинус отрицательный (\(\displaystyle {\bf -}\)). 


3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу \(\displaystyle -\frac{\pi}{6}\) прибавляем \(\displaystyle \pi ,\) то функция не меняется

Значит, 

\(\displaystyle \cos {(\pi-\frac{\pi}{6})}=-\cos {\frac{\pi}{6}} {\small ,}\)

то есть \(\displaystyle \cos \frac{5\pi}{6}=-\cos {\frac{\pi}{6}} {\small .}\)

Тогда:

\(\displaystyle \sqrt{3} \cos \frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6}{\small .}\)


Подставим табличное значение.

Подсказка - табличные значения

\(\displaystyle - \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6}=-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}=-1{,}5{\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \sqrt{3}\cos^2 {\frac{5\pi}{12}} -\sqrt{3} \sin^2 {\frac{5\pi}{12}}=\sqrt{3}\,(\cos^2 {\frac{5\pi}{12}} -\sin^2 {\frac{5\pi}{12}})=\sqrt{3} \cos \frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6}=-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-1{,}5{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle -1{,}5 {\small.} \)