Skip to main content

Теория: Тригонометрия (формулы двойного угла) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{12 \sin36^\circ}{\cos18^\circ\sin198^\circ}=\)

Решение

В данном выражении \(\displaystyle \frac{12 \sin36^\circ}{\cos18^\circ\sin198^\circ}\) три разных угла.

При этом есть два таких, что один в два раза больше другого:

\(\displaystyle 36^ \circ=2 \cdot \color{red}{18^ \circ} {\small.}\)

То есть:

\(\displaystyle \frac{12 \sin36^\circ}{\cos18^\circ\sin198^\circ}=\frac{12 \sin(2 \cdot \color{red}{18^\circ})}{\cos18^\circ\sin198^\circ}{\small.}\)


Применим формулу синуса двойного угла

Правило

\(\displaystyle \sin\, 2\color{red}{ \alpha}=2\sin\color{red}{ \alpha} \, \cos\color{red}{ \alpha}\)   

В нашем случае \(\displaystyle \alpha=\color{red}{ 18}^ \circ,\) то есть

\(\displaystyle \sin(2 \cdot \color{red}{ 18^ \circ})=2\sin \color{red}{18^ \circ }\cos \color{red}{ 18^ \circ}{\small.}\)

Тогда:

\(\displaystyle \frac{12 \sin(2 \cdot \color{red}{18^\circ})}{\cos18^\circ\sin198^\circ}=\frac{12 \cdot 2\sin \color{red}{18^ \circ} \cos \color{red}{ 18^ \circ}}{\cos18^\circ\sin198^\circ}{\small.}\)


Сократим полученную дробь:

\(\displaystyle \frac{12 \cdot 2\sin 18^ \circ \,\cancel{\cos 18^ \circ}}{\cancel{\cos18^\circ}\sin198^\circ}=\frac{24\sin 18^ \circ }{\sin198^\circ}{\small.}\)


В полученном выражении \(\displaystyle \frac{24\sin 18^ \circ }{\sin198^\circ}\) два разных угла.

Найдем между ними взаимосвязь: у них может быть хорошая сумма или хорошая разность (то есть равная \(\displaystyle 180^ \circ,\) \(\displaystyle 180^ \circ,\) \(\displaystyle 270^ \circ,\) \(\displaystyle 360^ \circ\) и т.п.).

В нашем случае у углов хорошая разность:

\(\displaystyle 198^ \circ-18^ \circ=\color{blue}{180^ \circ}{\small.}\)

Отсюда: \(\displaystyle \color{blue}{198^ \circ=180^ \circ+18^ \circ} {\small .}\)

Тогда

 \(\displaystyle \frac{24\sin 18^ \circ }{\sin\color{blue}{198^\circ}}=\frac{24\sin 18^ \circ }{\sin(\color{blue}{180^ \circ+18^ \circ})}{\small.}\)


Получилась формула приведения. Применим ее.

Подсказка - алгоритм применения формулы приведения

1. Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle 180^\circ+18^\circ{:} \)

Значит, угол \(\displaystyle 180^\circ+18^\circ \) находится в  третьей четверти.


2. Определим знак исходной функции.

В третьей четверти синус отрицательный (\(\displaystyle {\bf -}\)). 


3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу \(\displaystyle 18^\circ\) прибавляем \(\displaystyle 180^\circ, \) то функция не меняется

Значит, 

\(\displaystyle \sin (180^\circ+18^\circ)=-\sin18^\circ {\small.}\)


Получаем:

 \(\displaystyle \frac{24\sin 18^ \circ }{\color{blue}{\sin(180^ \circ+18^ \circ})}=\frac{24\sin 18^ \circ }{\color{blue}{-\sin18^ \circ}}{\small.}\)


Сократим дробь на \(\displaystyle \sin18^\circ \)и получим ответ:

 \(\displaystyle \frac{24\sin 18^ \circ }{-\sin18^ \circ}=-24{\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

  \(\displaystyle \frac{12 \sin36^\circ}{\cos18^\circ\sin198^\circ}=\frac{12 \cdot 2\sin 18^ \circ \cos 18^ \circ}{\cos18^\circ\sin198^\circ}=\frac{24\sin 18^\circ }{\sin198^\circ}=\frac{24\sin 18^ \circ }{\sin(180^ \circ+18^ \circ)}=\frac{24\sin 18^ \circ }{-\sin18^ \circ}=-24{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle -24 {\small.} \)