Skip to main content

Теория: График функции и положение касательной (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle y = f(x){\small .}\) На оси абсцисс отмечены семь точек:\(\displaystyle x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, x_6,\, x_7{\small .}\) В скольких из этих точек производная функции \(\displaystyle f(x)\) положительна?
 

4
Решение

Правило

Убывание, возрастание функции и знак производной

Если функция \(\displaystyle f(x)\) на промежутке \(\displaystyle (\alpha;\, \beta)\) возрастает, то для любого \(\displaystyle x_0 \in (\alpha;\, \beta)\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\geqslant 0{ \small ,}\) если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует.

Если функция \(\displaystyle f(x)\) на промежутке \(\displaystyle (\alpha;\, \beta)\) убывает, то для любого \(\displaystyle x_0 \in (\alpha;\, \beta)\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x_0) \leqslant 0{ \small ,}\) если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует.

Рассмотрим, как ведет себя функция в окрестностях точек \(\displaystyle x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, x_6,\, x_7{\small:}\) 

Получаем:

ТочкиПоведение функции в окрестности точкиЗнак производной в точке
\(\displaystyle x_1,x_2, x_4, x_6\)\(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \color{green}{\nearrow}\)\(\displaystyle f^{\prime}(x)\ge 0\)
\(\displaystyle x_3, x_5, x_7\)\(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \color{blue}{\searrow}\)\(\displaystyle f^{\prime}(x) \le 0\)

Ни в одной из выделенных точек касательная не параллельна оси \(\displaystyle \rm OX{\small.}\) Значит, во всех этих точках производная не равна нулю.

То есть в таблице все знаки неравенств строгие:

ТочкиЗнак производной в точке
\(\displaystyle x_1,x_2, x_4, x_6\)\(\displaystyle f^{\prime}(x)> 0\)
\(\displaystyle x_3, x_5, x_7\)\(\displaystyle f^{\prime}(x) < 0\)

Значит, производная положительна в четырех точках.

Ответ: \(\displaystyle 4{\small.}\)