Skip to main content

Теория: График функции и положение касательной (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle y=f\left(x\right){\small.}\) На оси абсцисс отмечены точки \(\displaystyle -2{\small,}\, -1{\small,}\, 1{\small,}\, 2{\small.}\) Расположите отмеченные точки в порядке убывания значения производной.

Перетащите сюда правильный ответ
Перетащите сюда правильный ответ
Перетащите сюда правильный ответ
Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Определим, как ведет себя функция в окрестности точек \(\displaystyle -2{\small,}\, -1{\small,}\, 1{\small,}\, 2{\small:}\)

Получаем:

ТочкиПоведение функции в окрестностиЗначение производной в точке
\(\displaystyle -2,\, 2\)\(\displaystyle f(x)\) возрастает\(\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0\)
\(\displaystyle -1, 1\)\(\displaystyle f(x)\) убывает\(\displaystyle f^{\prime}(x)\le0\)


При этом ни в одной из отмеченных точек касательная не параллельна оси \(\displaystyle \rm OX\). Значит, знаки неравенств в таблице строгие:

ТочкиЗначение производной в точке
\(\displaystyle -2,\, 2\)\(\displaystyle f^{\prime}(x)>0\)
\(\displaystyle -1, 1\)\(\displaystyle f^{\prime}(x)<0\)

 

То есть значения производной в точках \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 2\) больше значений производной в точках \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 1{\small.}\)


Сравним сначала значения производной в точках \(\displaystyle -2{\small,}\) \(\displaystyle 2{ \small ,}\) а затем в точках \(\displaystyle -1{\small,}\) \(\displaystyle 1{\small.}\)

1. Рассмотрим точки \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 2{\small.}\)

Значение производной в точке \(\displaystyle x_0\) равно \(\displaystyle \tg(\alpha){ \small ,}\)  где \(\displaystyle \alpha\) – угол наклона касательной в соответствующей точке на кривой \(\displaystyle y=f(x){\small .}\)

Поэтому, чтобы сравнить значение производной в точках \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 2{ \small ,}\) воспользуемся правилом:

Правило

Если касательная образует острый угол с положительным направлением оси \(\displaystyle \rm OX{\small,}\) то

чем больше угол наклона, тем больше тангенс.

Построим касательные в точках \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 2{\small:}\)

Из рисунка видно, угол наклона касательной \(\displaystyle \color{green}{\alpha}\) больше, чем угол наклона касательной \(\displaystyle \color{red}{\beta}{\small.}\)

Значит, тангенс угла \(\displaystyle \color{green}{\alpha}\) больше, чем тангенс угла \(\displaystyle \color{red}{\beta}{\small.}\)

Соответственно, производная больше в точке \(\displaystyle -2{\small :}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(-2)>f^{\prime}(2)>0{\small.}\)


2. Рассмотрим точки \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 1{\small.}\)

Чтобы сравнить значение производной в точках \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 1{ \small ,}\) воспользуемся правилом:

Правило

Если касательная образует тупой угол с положительным направлением оси \(\displaystyle \rm OX{\small,}\) то

чем меньше угол наклона, тем меньше тангенс.

Построим касательные в точках \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 1{\small:}\)

Сравним угол наклона касательной \(\displaystyle \color{#7F00FF}{\gamma}\) и угол наклона касательной \(\displaystyle \delta{\small.}\)

В точке \(\displaystyle -1\) касательная более "вертикальна" (наклонена меньше), чем касательная в точке \(\displaystyle 1 {\small .}\)

Поэтому угол наклона касательной \(\displaystyle \color{#7F00FF}{\gamma}\) меньше, чем угол наклона касательной \(\displaystyle \delta{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle \tg\color{#7F00FF}{\gamma}\) меньше \(\displaystyle \tg\delta\) и, соответственно, производная меньше в точке \(\displaystyle -1{\small:}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(-1)<f^{\prime}(1)<0{\small.}\)


Таким образом, получаем:

\(\displaystyle f^{\prime}(-2)>f^{\prime}(2)>0>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(-1){\small.}\)

Значит, в порядке убывания значения производной точки располагаются:

\(\displaystyle -2,\,2,\,1,\,-1{\small.}\)