Skip to main content

Теория: График функции и положение касательной (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображен график функции \(\displaystyle y = f(x){ \small ,}\) определенной на интервале \(\displaystyle (−9; 8){\small .}\) Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

10
Решение

Вспомним зависимость между поведением функции и знаком производной:

Поведение функцииЗнак производной
 Если функция возрастает, то \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\geqslant 0\)
Если функция убывает,то \(\displaystyle f^{\prime}(x_0) \leqslant 0\)


Кроме того, производная равна нулю, если касательная параллельна оси \(\displaystyle \rm OX{\small.}\)

Поэтому разобьем график функции на промежутки возрастания и убывания, отметив с помощью касательной точки, в которых производная равна нулю.

Отметим на графике точки, в которых касательная параллельна оси \(\displaystyle \rm OX{\small:}\)

График разбился на промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Значит, внутри отмеченных на рисунке интервалов возрастания \(\displaystyle f(x)\) производная положительна.

Остается найти количество целых точек, лежащих внутри интервалов возрастания функции \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Получаем \(\displaystyle 10\) точек.

Ответ: \(\displaystyle 10{\small.}\)