Найдите один из минимальных периодов периодической дроби
\(\displaystyle 76,13(546546)\)
Ненулевая группа цифр в периодической дроби, которая, начиная с некоторого места, непрерывно повторяется, называется периодом. Минимальная группа таких цифр называется минимальным периодом.
Согласно записи \(\displaystyle 76,13(546546)\) группа цифр \(\displaystyle 546546\) является периодом, то есть непрерывно повторяется:
\(\displaystyle 76,13(546546)=76,13546546546546\ldots\)
Найдем минимальный период, начиная с первой цифры периода \(\displaystyle 546546.\)
\(\displaystyle \color{red}{{\bf 5}}46546\): число \(\displaystyle 5\) не является периодом, так как
\(\displaystyle 76,13(546546)=\not 76,13(5)=76,13555\ldots\)
\(\displaystyle \color{red}{{\bf 54}}6546\): число \(\displaystyle 54\) не является периодом, так как
\(\displaystyle 76,13(546546)=\not 76,13(54)=76,13545454\ldots\)
\(\displaystyle \color{red}{{\bf 546}}546\): число \(\displaystyle 546\) является периодом, то есть
\(\displaystyle 76,13(546546)=76,13(546)=76,13546546546\ldots\)
Значит, \(\displaystyle 546\) является минимальным периодом, состоящим из трех цифр:
\(\displaystyle 76,13(546546)=76,13({\bf 546}).\)
Более того, периодом, состоящим из трех цифр, являются как \(\displaystyle 465\)
\(\displaystyle 76,13546546546\ldots=76,135({\bf 465}),\)
так и \(\displaystyle 654\)
\(\displaystyle 76,13546546546\ldots=76,1354({\bf 654}).\)
То есть они также являются минимальными периодами.
Ответ: \(\displaystyle 546,\) или \(\displaystyle 465,\) или \(\displaystyle 654.\)