Skip to main content

Теория: Периодическая десятичная дробь

Задание

Найдите один из минимальных периодов периодической дроби

\(\displaystyle 287,5717171\ldots\)

Решение

Определение

Ненулевая группа цифр в периодической дроби, которая, начиная с некоторого места, непрерывно повторяется, называется периодом. Минимальная группа таких цифр называется минимальным периодом.

В периодической дроби \(\displaystyle 287,{\bf 5}717171\ldots\) после цифры \(\displaystyle {\bf 5}\) группа цифр \(\displaystyle 71\) непрерывно повторяется. Следовательно, \(\displaystyle 71\) является периодом данной десятичной дроби:

\(\displaystyle 287,5717171\ldots=287,5(71).\)

 

Найдем минимальный период, начиная с первой цифры периода \(\displaystyle 71.\)

\(\displaystyle \color{red}{{\bf 7}}1\): число \(\displaystyle 7\) не является периодом, так как

\(\displaystyle 287,5(71)=\not 287,5(7)=287,5777\ldots\)

\(\displaystyle \color{red}{{\bf 71}}\): число \(\displaystyle 71\)  является периодом,

то есть \(\displaystyle 287,5717171\ldots=287,5(71).\)

 

Значит, \(\displaystyle 71\) является минимальным периодом, состоящим из двух цифр:

\(\displaystyle 287,5717171\ldots=287,5({\bf 71}).\)

 

Замечание / комментарий

Можно также сказать, что в периодической дроби \(\displaystyle 287,5{\bf 7}17171\ldots\) после цифры \(\displaystyle {\bf 7}\) группа цифр \(\displaystyle 17\) тоже непрерывно повторяется.

Таким образом, \(\displaystyle 17\) также является минимальным периодом:

\(\displaystyle 287,5717171\ldots=287,57({\bf 17}).\)

Ответ: \(\displaystyle 71\) или \(\displaystyle 17.\)