Для ненулевых чисел \(\displaystyle s,\, t\) упростите выражение так, чтобы в ответе была несократимая дробь, и параметры \(\displaystyle s,\, t\) были в натуральных степенях:
| \(\displaystyle \biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{5}:\biggl(\frac{t}{s}\biggr)^{-8}=\) | ||
Перевернем дробь \(\displaystyle \biggl(\frac{t}{s}\biggr)^{-8},\) воспользовавшись правилом.
Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, b\) и целого \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{{\bf-}n}=\biggl(\frac{b}{a}\biggr)^{n}.\)
Тогда
\(\displaystyle \color{green}{\biggl(\frac{t}{s}\biggr)^{-8}}=\color{blue}{\biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{8}}\)
и
\(\displaystyle \biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{5}:\color{green}{\biggl(\frac{t}{s}\biggr)^{-8}}=\biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{5}:\color{blue}{\biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{8}}.\)
Воспользуемся правилом частного степеней:
\(\displaystyle \biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{5}:\biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{8}=\biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{5-8}=\biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{-3}.\)
Избавимся от отрицательного показателя степени, снова перевернув дробь:
\(\displaystyle \biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{-3}=\biggl(\frac{t}{s}\biggr)^{3}.\)
Далее применим правило частное в степени.
Частное в степени
Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{n}=\frac{a^{\,n}}{b^{\,n}}.\)
Получаем:
\(\displaystyle \biggl(\frac{t}{s}\biggr)^{3}=\frac{t^{\, 3}}{s^{\, 3}}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle \biggl(\frac{s}{t}\biggr)^{5}:\biggl(\frac{t}{s}\biggr)^{-8}=\frac{t^{\, 3}}{s^{\, 3}}.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{t^{\, 3}}{s^{\, 3}}.\)