Skip to main content

Теория: Умножение многочлена на одночлен

Задание

Найдите произведение:
 

\(\displaystyle 10y^{\,2}\cdot (3y^{\,24}-y^{\,5}\cdot 5y^{\, 8}-2y^{\,2}+4y\,)\cdot 7y^{\,3}=\)
210y^{29}-350y^{18}-140y^7+280y^6


В ответе запишите многочлен в стандартном виде.

Решение

1. Сначала преобразуем выражение в скобках к многочлену в стандартном виде:

\(\displaystyle \begin{aligned} 3y^{\,24}-y^{\,5}\cdot 5y^{\, 8}-2y^{\,2}+4y&= 3y^{\,24}-5\cdot (\,y^{\,5}\cdot y^{\, 8})-2y^{\,2}+4y=\\ &=3y^{\,24}-5\cdot y^{\,5+8}-2y^{\,2}+4y=\\ &=3y^{\,24}-5y^{\,13}-2y^{\,2}+4y {\small .}\end{aligned}\)

Тогда

\(\displaystyle 10y^{\,2}\cdot (3y^{\,24}-y^{\,5}\cdot 5y^{\, 8}-2y^{\,2}+4y\,)\cdot 7y^{\,3}= 10y^{\,2}\cdot (3y^{\,24}-5y^{\,13}-2y^{\,2}+4y\,)\cdot 7y^{\,3} {\small .}\)

 

2. Теперь раскроем скобки.

Умножим на \(\displaystyle 10y^{\,2}{\small ,}\) результат приведем к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{10y^{\,2}}\cdot (3y^{\,24}-5y^{\,13}-2y^{\,2}+4y\,)\cdot 7y^{\,3}=\\ \kern{6em} =(\color{blue}{10y^{\,2}}\cdot 3y^{\,24}-\color{blue}{10y^{\,2}}\cdot 5y^{\,13}-\color{blue}{10y^{\,2}}\cdot 2y^{\,2}+\color{blue}{10y^{\,2}}\cdot 4y\,)\cdot 7y^{\,3}=\\ \kern{6em} =((10\cdot 3)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,24})-(10\cdot 5)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,13})-\\ \kern{15em} -(10\cdot 2)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,2})+(10\cdot 4)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y\,))\cdot 7y^{\,3}=\\ \kern{6em} =(30\cdot y^{\,2+24}-50\cdot y^{\,2+13}-20\cdot y^{\,2+2}+40\cdot y^{\,2+1})\cdot 7y^{\,3}=\\ \kern{18em} =(30y^{\,26}-50y^{\,15}-20y^{\,4}+40y^{\,3})\cdot 7y^{\,3} {\small ;}\end{array}\)

Умножим на \(\displaystyle 7y^{\,3}{\small ,}\) результат приведем к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{array}{l} (30y^{\,26}-50y^{\,15}-20y^{\,4}+40y^{\,3})\cdot \color{green}{7y^{\,3}}=\\ \kern{6em} =30y^{\,26}\cdot \color{green}{7y^{\,3}}-50y^{\,15}\cdot \color{green}{7y^{\,3}}-20y^{\,4}\cdot \color{green}{7y^{\,3}}+40y^{\,3}\cdot \color{green}{7y^{\,3}}=\\ \kern{6em} =(30\cdot 7)\cdot (\,y^{\,26}\cdot y^{\,3})-(50\cdot 7)\cdot (\,y^{\,15}\cdot y^{\,3})-\\ \kern{15em} -(20\cdot 7)\cdot (\,y^{\,4}\cdot y^{\,3})+(40\cdot 7)\cdot (\,y^{\,3}\cdot y^{\,3})=\\ \kern{6em} =210\cdot y^{\,26+3}-350\cdot y^{\,15+3}-140\cdot y^{\,4+3}+280\cdot y^{\,3+3}=\\ \kern{18em} =210y^{\,29}-350y^{\,18}-140y^{\,7}+280y^{\,6} {\small .}\end{array}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle 10y^{\,2}\cdot (3y^{\,24}-y^{\,5}\cdot 5y^{\, 8}-2y^{\,2}+4y\,)\cdot 7y^{\,3}=210y^{\,29}-350y^{\,18}-140y^{\,7}+280y^{\,6}{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 210y^{\,29}-350y^{\,18}-140y^{\,7}+280y^{\,6}{\small .}\)