Упростите выражение:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
1. Сначала преобразуем все множители и слагаемые к одночленам в стандартном виде:
- \(\displaystyle 5x^{\,2} \cdot 2x=(5\cdot 2)\cdot (x^{\,2} \cdot x\,)=10x^{\,3}{\small ,}\)
- \(\displaystyle 6x\cdot x=6\cdot (x\cdot x\,)=6\cdot x^{\,1+1}=6x^{\,2}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 5x^{\,2} \cdot 2x\,(6x\cdot x-3x-3)-10(9x^{\,3}-7x^{\,2}-5)=10x^{\,3}(6x^{\,2}-3x-3)-10(9x^{\,3}-7x^{\,2}-5){\small .}\)
2. Теперь умножим каждые скобки на множитель перед ними.
Первые скобки умножим на \(\displaystyle 10x^{\,3}{\small ,}\) результат приведем к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{10x^{\,3}}(6x^{\,2}-3x-3)&= \color{blue}{10x^{\,3}}\cdot 6x^{\,2}-\color{blue}{10x^{\,3}}\cdot 3x-\color{blue}{10x^{\,3}}\cdot 3=\\ &=(10\cdot 6)\cdot (x^{\,3}\cdot x^{\,2})-(10\cdot 3)\cdot (x^{\,3}\cdot x\,)-(10\cdot 3)\cdot x^{\,3}=\\ &=60\cdot x^{\,3+2}-30\cdot x^{\,3+1}-30\cdot x^{\,3}=\\ &=60x^{\,5}-30x^{\,4}-30x^{\,3} {\small .}\end{aligned}\)
Вторые скобки умножим на \(\displaystyle 10{\small ,}\)результат приведем к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{10}(9x^{\,3}-7x^{\,2}-5)= \color{blue}{10}\cdot 9x^{\,3}-\color{blue}{10}\cdot 7x^{\,2}-\color{blue}{10}\cdot 5= 90x^{\,3}-70x^{\,2}-50 {\small .}\end{aligned}\)
Поэтому
\(\displaystyle \begin{array}{l} 10x^{\,3}(6x^{\,2}-3x-3)-10(9x^{\,3}-7x^{\,2}-5)= (60x^{\,5}-30x^{\,4}-30x^{\,3})-(90x^{\,3}-70x^{\,2}-50) {\small .}\end{array}\)
3. Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Так как перед вторыми скобками стоит знак минус, то все знаки внутри этих скобок изменятся на противоположные:
\(\displaystyle \begin{array}{l} (60x^{\,5}-30x^{\,4}-30x^{\,3})-(90x^{\,3}-70x^{\,2}-50)=\\ \kern{6em} =60x^{\,5}-30x^{\,4}-30 \color{blue}{ x^{\,3}}-90 \color{blue}{ x^{\,3}}+70x^{\,2}+50=\\ \kern{6em} =60x^{\,5}-30x^{\,4}+(-30 \color{blue}{ x^{\,3}}-90 \color{blue}{ x^{\,3}})+70x^{\,2}+50=\\ \kern{6em} =60x^{\,5}-30x^{\,4}+(-30-90) \color{blue}{ x^{\,3}}+70x^{\,2}+50=\\ \kern{17em} =60x^{\,5}-30x^{\,4}-120 \color{blue}{ x^{\,3}}+70x^{\,2}+50 {\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle 5x^{\,2} \cdot 2x\,(6x\cdot x-3x-3)-10(9x^{\,3}-7x^{\,2}-5)=60x^{\,5}-30x^{\,4}-120x^{\,3}+70x^{\,2}+50{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 60x^{\,5}-30x^{\,4}-120x^{\,3}+70x^{\,2}+50{\small .}\)