Найдите произведение многочленов:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle \begin{array}{l} (\color{blue}{3y^{\,2}}-\color{green}{y}+\color{red}{1})\cdot (7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)=\\ \kern{10em} =\color{blue}{3y^{\,2}}\cdot (7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)-\color{green}{y} \cdot (7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)+\color{red}{1}\cdot (7y^{\,3}+4y^{\,2}+5) {\small .}\end{array}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{3y^{\,2}}\cdot (7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)-\color{green}{y}\cdot (7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)+\color{red}{1}\cdot (7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)=\\ \kern{1.5em} =\color{blue}{3y^{\,2}}\cdot 7y^{\,3}+\color{blue}{3y^{\,2}}\cdot 4y^{\,2}+\color{blue}{3y^{\,2}}\cdot 5-(\,\color{green}{y}\cdot 7y^{\,3}+\color{green}{y}\cdot 4y^{\,2}+\color{green}{y}\cdot 5)+(\color{red}{1}\cdot 7y^{\,3}+\color{red}{1}\cdot 4y^{\,2}+\color{red}{1}\cdot 5)=\\ \kern{1.5em} =(3\cdot 7)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,3})+(3\cdot 4)\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,2})+(3\cdot 5)y^{\,2}-(7\cdot (\,y\cdot y^{\,3})+4\cdot (\,y\cdot y^{\,2})+5y\,)+\\ \kern{28em} +(7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)=\\ \kern{1.5em} =21\cdot y^{\,2+3}+12\cdot y^{\,2+2}+15y^{\,2}-(7y^{\,1+3}+4\cdot y^{\,1+2}+5y\,)+(7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)=\\ \kern{13em} =21y^{\,5}+12y^{\,4}+15y^{\,2}-(7y^{\,4}+4y^{\,3}+5y\,)+(7y^{\,3}+4y^{\,2}+5) {\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки. Так как перед первыми скобками стоит знак минус, то все знаки внутри этих скобок изменятся на противоположные:
\(\displaystyle \begin{array}{l} 21y^{\,5}+12y^{\,4}+15y^{\,2}-(7y^{\,4}+4y^{\,3}+5y\,)+(7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)=\\ \kern{11em} =21y^{\,5}+12y^{\,4}+15y^{\,2}-7y^{\,4}-4y^{\,3}-5y+7y^{\,3}+4y^{\,2}+5 {\small .}\end{array}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены и записывая их по убывающим степеням \(\displaystyle y\,{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l} 21y^{\,5}+12\color{blue}{y^{\,4}}+15\color{red}{y^{\,2}}-7\color{blue}{y^{\,4}}-4\color{green}{y^{\,3}}-5y+7\color{green}{y^{\,3}}+4\color{red}{y^{\,2}}+5=\\ \kern{8em} =21y^{\,5}+(12\color{blue}{y^{\,4}}-7\color{blue}{y^{\,4}})+(-4\color{green}{y^{\,3}}+7\color{green}{y^{\,3}})+(15\color{red}{y^{\,2}}+4\color{red}{y^{\,2}})-5y+5=\\ \kern{8em} =21y^{\,5}+(12-7)\color{blue}{y^{\,4}}+(-4+7)\color{green}{y^{\,3}}+(15+4)\color{red}{y^{\,2}}-5y+5=\\ \kern{20em} =21y^{\,5}+5\color{blue}{y^{\,4}}+3\color{green}{y^{\,3}}+19\color{red}{y^{\,2}}-5y+5 {\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (3y^{\,2}-y+1)(7y^{\,3}+4y^{\,2}+5)=21y^{\,5}+5y^{\,4}+3y^{\,3}+19y^{\,2}-5y+5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 21y^{\,5}+5y^{\,4}+3y^{\,3}+19y^{\,2}-5y+5{\small .}\)