Найдите квадрат многочлена:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде.
Сначала перепишем степень многочлена \(\displaystyle 10w^{\,2}-w+2\) в виде произведения:
\(\displaystyle (10w^{\,2}-w+2)^2=(10w^{\,2}-w+2)(10w^{\,2}-w+2) {\small .}\)
Теперь нам нужно перемножить скобки. Для этого сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:
\(\displaystyle \begin{array}{l} (\color{blue}{10w^{\,2}}-\color{green}{w}+\color{red}{2})\cdot (10w^{\,2}-w+2)=\\ \kern{9em} =\color{blue}{10w^{\,2}}\cdot (10w^{\,2}-w+2)-\color{green}{w} \cdot (10w^{\,2}-w+2)+\color{red}{2}\cdot (10w^{\,2}-w+2) {\small .}\end{array}\)
Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{10w^{\,2}}\cdot (10w^{\,2}-w+2)-\color{green}{w}\cdot (10w^{\,2}-w+2)+\color{red}{2}\cdot (10w^{\,2}-w+2)=\\ \kern{2em} =\color{blue}{10w^{\,2}}\cdot 10w^{\,2}-\color{blue}{10w^{\,2}}\cdot w+\color{blue}{10w^{\,2}}\cdot 2-(\color{green}{w}\cdot 10w^{\,2}-\color{green}{w}\cdot w+\color{green}{w}\cdot 2)+\\ \kern{25em} +(\color{red}{2}\cdot 10w^{\,2}-\color{red}{2}\cdot w+\color{red}{2}\cdot 2)=\\ \kern{2em} =(10\cdot 10)\cdot (w^{\,2}\cdot w^{\,2})-10\cdot (w^{\,2}\cdot w\,)+(10\cdot 2)w^{\,2}-(10\cdot (w\cdot w^{\,2})-w\cdot w+2w\,)+\\ \kern{27em} +((2\cdot 10)w^{\,2}-2w+4)=\\ \kern{2em} =100\cdot w^{\,2+2}-10\cdot w^{\,2+1}+20w^{\,2}-(10\cdot w^{\,1+2}-w^{\,1+1}+2w\,)+(20w^{\,2}-2w+4)=\\ \kern{10em} =100w^{\,4}-10w^{\,3}+20w^{\,2}-(10w^{\,3}-w^{\,2}+2w\,)+(20w^{\,2}-2w+4) {\small .}\end{array}\)
Раскроем скобки. Так как перед первыми скобками стоит знак минус, то все знаки внутри этих скобок изменятся на противоположные:
\(\displaystyle \begin{array}{l} 100w^{\,4}-10w^{\,3}+20w^{\,2}-(10w^{\,3}-w^{\,2}+2w\,)+(20w^{\,2}-2w+4)=\\ \kern{11em} =100w^{\,4}-10w^{\,3}+20w^{\,2}-10w^{\,3}+w^{\,2}-2w+20w^{\,2}-2w+4 {\small .}\end{array}\)
Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены и записывая их по убывающим степеням \(\displaystyle z\,{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l} 100w^{\,4}-10\color{blue}{w^{\,3}}+20\color{green}{w^{\,2}}-10\color{blue}{w^{\,3}}+\color{green}{w^{\,2}}-2\color{red}{w}+20\color{green}{w^{\,2}}-2\color{red}{w}+4=\\ \kern{5em} =100w^{\,4}+(-10\color{blue}{w^{\,3}}-10\color{blue}{w^{\,3}})+(20\color{green}{w^{\,2}}+\color{green}{w^{\,2}}+20\color{green}{w^{\,2}})+(-2\color{red}{w}-2\color{red}{w}\,)+4=\\ \kern{5em} =100w^{\,4}+(-10-10)\color{blue}{w^{\,3}}+(20+1+20)\color{green}{w^{\,2}}+(-2-2)\color{red}{w}+4=\\ \kern{5em} =100w^{\,4}-20\color{blue}{w^{\,3}}+41\color{green}{w^{\,2}}-4\color{red}{w}+4 {\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \begin{array}{l} (10w^{\,2}-w+2)^2=100w^{\,4}-20w^{\,3}+41w^{\,2}-4w+4 {\small .}\end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle 100w^{\,4}-20w^{\,3}+41w^{\,2}-4w+4{\small .}\)