Используя формулы сокращенного умножения, разложите многочлен на множители:
Воспользуемся формулой разности квадратов:
Разность квадратов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}=(a+b\,)(a-b\,).\)
Получаем:
\(\displaystyle \left(2x^{\,2}\right)^2-\left(x^{\, 2}+5^2\right)^2=\left(2x^{\,2}-(x^{\,2}+5^2)\right)\left(2x^{\,2}+x^{\,2}+5^2\right){\small . }\)
Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(2x^{\,2}-(x^{\,2}+5^2)\right)\left(2x^{\,2}+x^{\,2}+5^2\right)&=\left(2x^{\,2}-x^{\,2}-5^2\right)\left(2x^{\,2}+x^{\,2}+5^2\right)=\\&=\left(x^{\,2}-25\right)\left(3x^{\,2}+25\right){\small . } \end{aligned}\)
Применим к выражению \(\displaystyle \left(x^{\,2}-25\right) \) формулу разности квадратов.
Перепишем это выражение в виде разности квадратов:
\(\displaystyle x^{\,2}-25=x^{\,2}-5^2{\small . } \)
Снова применяя формулу разности квадратов, получаем:
\(\displaystyle \left(x^{\,2}-25\right)\left(3x^{\,2}+25\right)=\left(x^{\,2}-5^2\right)\left(3x^{\,2}+25\right)=(x+5)(x-5)\left(3x^{\,2}+25\right){\small . }\)
Таким образом,
\(\displaystyle \left(2x^{\,2}\right)^2-\left(x^{\, 2}+5^2\right)^2=(x+5)(x-5)\left(3x^{\,2}+25\right){\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle (x+5)(x-5)\left(3x^{\,2}+25\right){\small . }\)