Сначала вынесем за скобки общий множитель в выражении \(\displaystyle 28y^{\,5}+28y^{\,3}+7y{\small . }\)
Общий множитель одночленов \(\displaystyle 28y^{\,5},\,\,28y^{\,3}\) и \(\displaystyle 7y\) равен \(\displaystyle 7y{\small.}\)
Вычислим этот общий множитель как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени:
- Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle \color{blue}{28},\, \color{blue}{ 28}\) и \(\displaystyle \color{blue}{7}{\small . }\)
Сначала вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle \color{blue}{28}\) и \(\displaystyle \color{blue}{28}{\small : }\)\(\displaystyle НОД(\color{blue}{28},\color{blue}{28})=28{\small . }\)
Теперь вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle \color{blue}{28}\) и \(\displaystyle \color{blue}{7}{\small : }\)\(\displaystyle НОД(\color{blue}{28},\color{blue}{7})=7{\small . }\)
Таким образом, \(\displaystyle НОД(\color{blue}{28},\color{blue}{28},\color{blue}{7})=7{\small . }\) - Найдем \(\displaystyle y\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle y\):
- в первом одночлене \(\displaystyle 28y^{\bf \,\color{blue}{5}}\) переменная \(\displaystyle y\) имеет степень \(\displaystyle 5{\small ; }\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 28y^{\bf \,\color{blue}{3}}\) переменная \(\displaystyle y\) имеет степень \(\displaystyle 3{\small ; }\)
- в третьем одночлене \(\displaystyle 7y=7y^{\bf \,\color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle y\) имеет степень \(\displaystyle 1{\small . }\)
Следовательно, \(\displaystyle y\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle y^{\bf \,1}=y{\small . }\)
Таким образом, общий множитель одночленов \(\displaystyle 28y^{\,5},\,\,28y^{\,3}\) и \(\displaystyle 7y\) равен \(\displaystyle 7y{\small . } \)
Значит, в выражении \(\displaystyle 28y^{\,5}+28y^{\,3}+7y\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 7y\):
\(\displaystyle 28y^{\,5}+28y^{\,3}+7y=7y\left(\frac{28y^{\,5}}{7y}+\frac{28y^{\,3}}{7y}+\frac{7y}{7y}\right)=7y\left(4y^{\,4}+4y^{\,2}+1\right){\small . }\)
Теперь свернем выражение в скобках \(\displaystyle \left(4y^{\,4}+4y^{\,2}+1\right) \) по формуле квадрата суммы:
\(\displaystyle 7y\left(4y^{\,4}+4y^{\,2}+1\right)=7y\left(\left(2y^{\,2}\right)^2+2\cdot 2y^{\,2}\cdot 1+1^2\right)=7y\left(2y^{\,2}+1\right)^2{\small . }\)
Таким образом,
\(\displaystyle 28y^{\,5}+28y^{\,3}+7y=7y\left(2y^{\,2}+1\right)^2{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle 7y\left(2y^{\,2}+1\right)^2{\small . }\)