Skip to main content

Теория: Разложение на множители - 1

Задание

Разложите на множители:
 

\(\displaystyle 7xy-35xz-3ay+15az=\big(\)\(\displaystyle \big)\big(\)\(\displaystyle \big)\)

Решение

Сначала выберем произвольный параметр, который встречается в половине слагаемых, то есть ровно два раза. Пусть это будет параметр \(\displaystyle x.\) Сгруппируем все члены с данным параметром в одни скобки, а остальные – в другие:

\(\displaystyle 7\color{red}{x}y-35\color{red}{x}z-3ay+15az=(7\color{red}{x}y-35\color{red}{x}z\,)+(-3ay+15az\,).\)

Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (7xy-35xz\,)\) (которое, как мы решили, содержит параметр \(\displaystyle x\)).

  1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 35\) равен \(\displaystyle 7.\)
  2. Общий параметр у выражений \(\displaystyle xy\) и \(\displaystyle xz\) –  это параметр \(\displaystyle x.\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle 7xy-35xz\) равен \(\displaystyle 7x.\) Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle 7xy-35xz=7x\,(\,y-5z\,){\small.}\)

Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (-3ay+15az\,){\small.}\)

  1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 15\) равен \(\displaystyle 3.\)
  2. Общий параметр у выражений \(\displaystyle ay\) и \(\displaystyle az\) –  это параметр \(\displaystyle a.\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle -3ay+15az\) равен \(\displaystyle 3a.\) Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle -3ay+15az=3a\,(\,-y+5z\,){\small.}\)

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

\(\displaystyle (7xy-35xz\,)+(-3ay+15az\,)= 7x\,(\,y-5z\,)+3a\,(\,-y+5z\,){\small.}\)

Заметим, что множители \(\displaystyle (\,y-5z\,)\) и \(\displaystyle (\,-y+5z\,)\) отличаются только знаком, то есть \(\displaystyle (\,-y+5z\,)=-(\, y-5z\,).\) Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (\,-y+5z\,)\) на \(\displaystyle -(\, y-5z)\):

\(\displaystyle \begin{aligned}7x\,(\,y-5z\,)+3a\,\color{red}{(\,-y+5z\,)}&=7x\,(\,y-5z\,)+3a\,\color{red}{\Big(-(\,y-5z\,)\Big)}=\\[5px]&=7x\,(\,y-5z\,)-3a\,(\,y-5z\,){\small.}\end{aligned}\)

Теперь видим, что в обеих частях выражения есть один и тот же множитель \(\displaystyle (\,y-5z\,).\) Значит, его также можно вынести за скобки:

\(\displaystyle 7x\,\color{blue}{(\,y-5z\,)}-3a\,\color{blue}{(\,y-5z\,)}=\color{blue}{(\,y-5z\,)} (7x-3a\,){\small.}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 7xy-35xz-3ay+15az=(\,\pmb{y}\, -{\bf 5}\pmb{z}\,) ({\bf 7}\pmb{x}-{\bf 3}\pmb{a}\,){\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle (\,y-5z\,)(7x-3a\,).\)