Разложите на множители:
\(\displaystyle 12ab-10xy+8bx-15ay=\big(\)\(\displaystyle \big)\big(\)\(\displaystyle \big)\)
Сначала выберем произвольный параметр, который встречается в половине слагаемых, то есть ровно два раза. Пусть это будет параметр \(\displaystyle b.\) Сгруппируем все члены с данным параметром в одни скобки, а остальные – в другие:
\(\displaystyle 12a\color{red}{b}-10xy+8\color{red}{b}x-15ay=(12a\color{red}{b}+8\color{red}{b}x\,)+(-10xy-15ay\,).\)
Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (12ab+8bx\,)\) (которое, как мы решили, содержит параметр \(\displaystyle b\)).
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 12\) и \(\displaystyle 8\) равен \(\displaystyle 4.\)
- Общий параметр у выражений \(\displaystyle ab\) и \(\displaystyle bx\) – это параметр \(\displaystyle b.\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle 12ab+8bx\) равен \(\displaystyle 4b.\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle 12ab+8bx=4b\,(3a+2x\,).\)
Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (-10xy-15ay\,).\)
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 10\) и \(\displaystyle 15\) равен \(\displaystyle 5.\)
- Общий параметр у выражений \(\displaystyle xy\) и \(\displaystyle ay\) – это параметр \(\displaystyle y.\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle -10xy-15ay\) равен \(\displaystyle 5y.\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle -10xy-15ay=5y\,(-2x-3a\,).\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (12ab+8bx\,)+(-10xy-15ay\,)= 4b\,(3a+2x\,)+5y\,(-2x-3a\,).\)
Заметим, что множители \(\displaystyle (3a+2x\,)\) и \(\displaystyle (-2x-3a\,)\) отличаются только знаком, то есть
\(\displaystyle (-2x-3a\,)=-(2x+3a\,)=-(3a+2x\,).\)
Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-2x-3a\,)\) на \(\displaystyle -(3a+2x\,)\):
\(\displaystyle \begin{array}{l}4b\,(3a+2x\,)+5y\,(-2x-3a\,)= \\[10px]\kern{5em} =4b\,(3a+2x\,)+5y\,\color{red}{\Big(-(3a+2x\,)\Big)}= \\[10px]\kern{10em} =4b\,(3a+2x\,)-5y\,(3a+2x\,).\end{array}\)
Теперь видим, что в обеих частях выражения есть один и тот же множитель \(\displaystyle (3a+2x\,).\) Значит, его можно вынести за скобки:
\(\displaystyle 4b\,\color{blue}{(3a+2x\,)}-5y\,\color{blue}{(3a+2x\,)}=\color{blue}{(3a+2x\,)} (4b-5y\,).\)
Таким образом,
\(\displaystyle 12ab-10xy+8bx-15ay=({\bf 3}\pmb{a}\, +{\bf 2}\pmb{x}\,) ({\bf 4}\pmb{b}-{\bf 5}\pmb{y}\,).\)
Ответ: \(\displaystyle (3a+2x\,)(4b-5y\,).\)